Tag: Integral

Integral Numerik Metode Trapezoida dilakukan dengan cara membuat bangun-bangun trapesium hayal diantara luas daerah yang dibatasi oleh sebuah fungsi.

Integral Numerik Metode Trapezoida

Metode Trapezoida merupakan salah satu metode numerik yang digunakan untuk menghitung aproksimasi integral dari suatu fungsi. Metode ini didasarkan pada pembagian interval integrasi menjadi sejumlah kecil sub-interval dan menghitung luas di bawah kurva dengan mengaproksimasi kurva sebagai segmen-segmen garis lurus yang menghubungkan titik-titik pada fungsi.

A. Dasar Teori

Secara matematis, jika kita ingin menghitung integral dari fungsi f(x) di antara batas a dan b:

\int^b_af(x)dx

Metode Trapezoida membagi interval [a,b] menjadi n sub-interval dengan panjang yang sama,

Δx=\frac{b-a}{n}

Titik-titik pembagi ini diberi label x₀, x₁, x₂,…, x_n, di mana:

x_i​=a+iΔx untuk i = 1, 2, 3, …, n

Luas di bawah kurva dihitung dengan mengaproksimasi setiap sub-interval sebagai sebuah trapesium. Luas setiap trapesium adalah:

L=\frac{1}{2}(f(x_i)+f(x_{i+1}))Δx

Total luas semua trapesium, yang merupakan aproksimasi integral, diberikan oleh:

\int^b_af(x)dx≈\frac{Δx}{2}[f(x_0)+2∑^{n-1}_{i=1}f(x_i)+f(x_n)]

B. Langkah-Langkah Menggunakan Metode Trapezoida

Tentukan Batas Integrasi dan Jumlah Sub-Interval (n):

Misalkan kita ingin mengintegrasikan fungsi f(x) dari a ke b dan kita pilih n sub-interval.

Hitung Lebar Sub-Interval (Δx):

Δx=\frac{b-a}{n}

Hitung Nilai Fungsi di Titik-Titik Pembagi:

• Untuk setiap titik x_i​=a+iΔx , hitung f(x_i) untuk i=0,1,2,…,n

Gunakan Rumus Trapezoida untuk Mengaproksimasi Integral:

\int^b_af(x)dx≈\frac{Δx}{2}[f(x_0)+2∑^{n-1}_{i=1}f(x_i)+f(x_n)]

C. Contoh Kasus

Misalkan kita ingin menghitung aproksimasi integral dari f(x)=sin⁡(x) dari 0 sampai π dengan n=4:

A. Solusi Numerik

1. Tentukan Batas dan Sub-Interval:

a=0, b=\pi , n = 4

\Delta x=\frac{\pi-0}{4}=\frac{\pi}{4}

2. Hitung Titik-Titik Pembagi dan Nilai Fungsi setiap kelipatan π/4, dimulai dari 0, π/4, π/2, 3π/4 dan π.

f(x_0)=\sin 0 = 0

f(x_1)=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}

f(x_2)=\sin \frac{\pi}{2}=1

f(x_3)=\sin \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}

f(x_4)=\sin π = 0

3. Aproksimasi Integral:

\int^π_0\sin x \ dx≈\frac{\frac{\pi}{4}}{2}[0+2(\frac{\sqrt{2}}{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2})+0]

\int^π_0\sin x \ dx≈\frac{\frac{\pi}{4}}{2}[0+2(2.4142)+0]

\int^π_0\sin x \ dx≈\frac{\pi}{4}(2.4142)

\int^π_0\sin x \ dx≈ 0.6 \pi≈1.8961

B. Solusi Analitik

\int^π_0\sin x \ dx = - cos |^π_0=-(-1-1)=2

Nilai dari solusi numerik ini mendekati nilai solusi analitik.

D. Trapezioda dengan Matlab

Buat Fungsi untuk Metode Trapezoida: Kita akan membuat fungsi yang menerima parameter fungsi yang akan diintegrasikan, batas bawah dan atas integrasi, serta jumlah sub-interval.

function result = trapezoidal_rule(f, a, b, n)
    % f: fungsi yang akan diintegrasikan
    % a: batas bawah
    % b: batas atas
    % n: jumlah sub-interval

    % Hitung lebar tiap sub-interval
    h = (b - a) / n;
    
    % Hitung nilai fungsi di titik-titik pembagi
    x = a:h:b;
    y = f(x);
    
    % Terapkan rumus metode Trapezoida
    result = (h / 2) * (y(1) + 2 * sum(y(2:end-1)) + y(end));
end

Gunakan Fungsi untuk Mengaproksimasi Integral: Panggil fungsi trapezoidal_rule dengan parameter yang sesuai.

% Definisikan fungsi yang akan diintegrasikan
f = @(x) sin(x);

% Batas integrasi
a = 0;
b = pi;

% Jumlah sub-interval
n = 4;

% Hitung integral menggunakan metode Trapezoida
approx_integral = trapezoidal_rule(f, a, b, n);

% Tampilkan hasil
disp(['Aproksimasi integral: ', num2str(approx_integral)]);

Penjelasan Kode

1. Fungsi trapezoidal_rule:
   • f: Fungsi yang akan diintegrasikan, didefinisikan sebagai fungsi anonim.
   • a dan b: Batas bawah dan atas dari integral.
   • n: Jumlah sub-interval yang digunakan dalam metode Trapezoida.
   • h: Lebar tiap sub-interval, dihitung sebagai (b−a)/n.
   • x: Vektor yang berisi titik-titik pembagi dari aaa ke b dengan jarak h.
   • y: Nilai fungsi f di titik-titik pembagi.
   • result: Aproksimasi integral yang dihitung menggunakan rumus metode Trapezoida.
2. Menghitung Integral:
   • Fungsi anonim f didefinisikan sebagai @(x) sin(x).
   • Batas integrasi adalah a = 0 dan b = pi.
   • Jumlah sub-interval adalah n = 4.
   • Hasil aproksimasi integral ditampilkan menggunakan disp.

E. Tugas

Buatlah sebuah solusi integral numerik metode trapzoida untuk fungsi berikut

\int^b_a(3x^3-5) dx

dan

\int^b_a(\cos x +2)dx

keterangan

1. ganti nilai b dengan tanggal lahir anda masing-masing dan nilai a dengan bulan lahir.
2. Jumlah sub-interval yang digunakan n = 4