Tag: Vektor

Fismat – Koordinat Polar
AhmadDahlan.NET – Koordinat Polar adalah sebuah sistem referensi yang dinyatakan dalam arah r dan θ (r,θ). Arah r adalah besar yang menentukan radius dari titik referensi O dan θ adalah yang menentukan sudut putar dari koordinat yang terbentuk.

Pada koordinat Polar, disepakati secara umum jika arah θ yang berlawanan dengan jarum jam bernilai positif. Elemen vektor r
```
R_{(r,\theta)}=dr \ \hat r  \ + r d\theta \ \hat\theta
```
A. Luasan dalam Koordinat Polar

Misalkan sebuah vektor arah r sebesar dr, diputar ke arah θ sebesar r.dθ, maka vektor ini akan menyapu daerah dengan luasan seperti pada gambar

luasan ini dinyatakan dalam bentuk :
```
\int dA = \int^\theta_0 \int^{r}_0(dr)(r.d\theta)
```
maka luasan A adalah :
```
A= \frac{1}{2}r^2\theta
```
Nilai θ adalah besar sudut juring terbentuk. Pada sudut dengan 1 lingkaran penuh atau 360^o, maka nilai θ = 2π. Jika nilai r₁ adalah jari-jari lingkaran itu sendiri makamasukkan nilai ini ke dalam persamaan diatas :
```
A= \frac{1}{2}r^2 (2\pi)
```
Luas lingkaran penuh adalah :
```
A = \pi r^2
```
B. Hubungan antara Koordinat Polar dan Kartesian

Misalkan kita memiliki vektor A dalam koordinat polar (r,θ) dari titik origin O. Vektor ini bisa juga dinyatakan dalam sumbu kartesian (x,y) jika ke dua koordinat dihimptkan satu sama lain.

Hubungan x, y, r, dan θ.
```
r_x = r  \cos \theta \ \hat x
```
```
r_y = r  \sin \theta \ \hat y
```
dengan demikian r = r_x+r_y, maka
```
r =  r  \cos \theta \ \hat x \ +  r  \sin \theta \ \hat y
```
besar r terhadap x dan y dapat dihubungankan dengan Teorema Phytagoras
```
r^2 = r_x^2+r_y^2
```
```
r =  r^2  \cos ^2\theta \ +  r^2  \sin^2 \theta 
```
r ini memiliki arah θ
```
\tan θ = \frac{r_y}{r_x}
```
```
\theta = arc \tan \frac{r_y}{r_x}
```
11 Desember 2021
Besaran Skalar dan Vektor
AhmadDahlan.NET – Sedikit banyaknya, Fisika adalah cabang ilmu yang paling banyak menerapkan konsep matematika sains. Konsep Besaran Skalar dan Vektor, dipinjam oleh fisika dari matematika untuk menganalisis fenomena alam dari sisi besaran mulai dari pandangan fisika klasik sampai ke fisika kuantum.

A. Besaran Skalar

Skalar adalah besaran fisika yang memiliki nilai mutlak sehingga tidak akan mengenal nilai negatif yang universal. Nilai negatif dari besaran ini hanya bermakna adanya perubahan kondisi antara setelah dan sebelum kejadian. Tanda negatif pada besaran skalar hanya menjadi simbol jika sebuah objek mengalami kekurangan nilai dari kondisi awal dan tidak merujuk pada suatu koordinat tertentu.

Misalkan saja jika saya memiliki 10 kg air dalam sebuah ember lalu saya menuangkan 4 kg air ke tempat lain, maka tanda -4 negatif ini tidak berarti massanya menjadi negatif hanya saja jumlah air yang berkurang. Massa 4 kilogram ini tetap ada namun pindah ke ember yang lain.

Dengan demikin besaran skalar ini adalah besaran yang tidak mungkin memiliki magnitude atau arah. Besaran fisika yang masuk dalam kategori skalar seperti
1. Massa
2. Energi
3. Daya
4. Jarak Tempuh
5. Ruang
6. Waktu
7. Suhu
B. Besaran Vektor

Besaran Vektor adalah besaran yang dinyatakan memiliki nilai dan arah. Arah yang dari besaran ini vektor ini bisa merujuk pada sebuah kerangka acuan kemudian di proyeksikan ke koordinat kartesian.

Mari kita ambil contoh Andi yang berangkat ke sekolah. Dalam menempu rute ke sekolah, Andi memulinya dengan berjalan ke arah utara sejauh 30 m, kemudian ke arah barat 40 m. Kasus andi bisa digambarkan ke dalam notasi vektor dimana kita jadikan rumah andi sebagai origon (titik nol). Setelah arah utara kita anggap sumbu y positif dan barat adalah sumbu x negatif.

Dengan demikian vektor gerak andi dapat dinotasikan sebagai berikut :
```
s = 30 \hat i- 40\hat j 
```
Tidak ada aturan mengikat mengenai utara harus postif dan selatan harus negatif, kita hanya perlu mendefeniskan dan menyepakati defenisi tersebut di awal penggunaannya. Kendati demikian, ada aturan umum dalam fisika yang biasanya diambil dari budaya yang berlaku misalnya ke atas, ke kanan dan ke utara itu positif sedangkan lawannya ke bawah, ke kiri dan ke selatan itu negatif.

Besaran vektor ini harus dinotasikan sesuai dengan arahnya karena arah akan berpengaruh terhadap proses matematis dari besaran ini. Misalnya saja proses perkalian dot dan matrik yang akan tereksekusi dengan proses yang berbeda.

Contoh besaran ventor adalah
1. Perpindahan
2. Gaya
3. Berat
4. Medan
5. Momentum
6. Impuls
Analisis Kasus

Mari kita ilustrasikan kasus Andi yang sedang ke sekolah di atas. Pada kasus tersebut Andi berjalan 30 m ke utara dan 40 meter ke timur. Vektor ini bisa diluksikan sebagai berikut !

Pada kasus di atas, Andi melakukan proses berjalan ke uatar sejauh 30 meter kemudian jalan lagi barat sejauh 40 meter, dengan demikian total jara yang ditempuh andi adalah 70 meter. Jarak tempuh ini adalah besaran skalar karena operasi matematisnya tidak melibatkan arah.

Namun jika kita melihat posisi awal dan posisi akhir Andi kita melihat andi tidak berpindah sejauh 70 meter sebagaimana jarak yang ditempuh andi. Perpindahan andi adalah :
```
s=\sqrt{30^2+40^2}=50 
```
dengan demikian andi hanya berpindah sejauh 50 meter. Namun 50 meter tidak cukup informatif karena belum memberikan arah perpindahan andi. Arah perpindahan andi bisa dihitung dengan :
```
\tan \theta =\frac{30}{-40}=-0,75
```
sehingga
```
\theta = -\arctan(75)
```
```
\theta = - 36,86^o
```
Peerpidahan andi adalah besaran vektor yang dapat dinyatakan dalam dua bentuk yakni
```
s = 30 \hat i- 40\hat j 
```
atau dalam bentuk pernyataan deskripsi yakni s = 50 meter ke arah -36,86^o.
22 November 2021
Operasi Matematis pada Besaran Vektor
Ahmaddahlan.NET – Vektor adalah sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah. Simbol dari besaran vektor adalah tanda panah (→) di atas huruf besaran. Misalnya pada besar kecepatan simbol v akan ditambahkan dengan simbol v vektor.
```
\vec v \ \ \ \ \ ..._{(1)}
```
Misalkan sebuah vektor berasal dari sebuah titik A (x₁,y₁) menuju titik B (x₂,y₂). Vektor ini bisa digambarkan dalam sistem koordinat cartesian.

Vektor ini bisa diproyeksikan ke arah x dan y dimana A_x = x₂ – x₁ dan A_y = y₂ – y₁. A_x dan A_y selanjutnya dikenal sebagai komponen vektor. Komponen vektor ini selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk matriks.

A. Jenis-Jenis Vektor

Vektor terbagi atas empat jenis yakni:

Vektor Posisi – Vektor yang ditinjau dari titik acuan (origin) 0 (0,0) sampai ke titik ujung misalnya titik A (x₁,y₁).

Vektor Nol – Vektor yang panjang dan nilai adalah 0 dan disimbolkan . Vektor ini memiliki arah namun tidak bisa ditentukan dengan jelas.

Vektor satuan – Vektor satuan adalah vektor yang nilai dan panjangnya satu satuan. Vektor satuan adalah : .

Vektor Basis – Vektor basis adalah vektor yang saling tegak lurus satu sama lain. dalam vektor dua dimensi A_xy memiliki dua varian vektor yakni = (1 0) dan =(0 1) sedangkan untuk vektor tiga dimensi A_xyzmemiliki tiga varian vektor yakni= (1 0 0) dan =(0 1 0) dan = (0 0 1).

B. Besar dan Arah Vektor

Misalnya sebuah vektor adalah vektor dua dimensi seperti pada gambar.

Panjang segmen dari vektor disebut sebagai magnitude atau besaran dinotasikan dalam bentuk dengan besar nilai resultan .

Arah dari vektor tersebut bisa dihitung sesuai dengan teorema trigonometri dimana θ = v₂/v₁. Vektor ini dapat ditulis dalam kombinasi linier dari vektor basis :

C. Operasi Vektor

Vektor adalah besaran yang dapat dioperasikan matematika sesaui dengan aturan vektor. (Comming Soon)

1. Penjumlahan Vektor

Vektor dapat mengalamai operasi matematis seperti penjumlahan. Proses penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen vektor yang seletak yang biasanya dikenal dengan Metode Poligon sedangkan tuurnan dari Metode Poligon menghasilkan Metode Jajaran Genjang.

Dua Vektor A dan Vektor B dapat mengalami operasi penjumlahan satu sama lain.

Penjumlahan antara Vektor A dan Vektor akan menghasilkan Resultan Vektor R. Nilai dari Vektor = + . Nilai Resultan Vektor adalah :

= A_x+i
18 September 2020