Mengembangkan solusi numerik untuk masalah akar-akar persamaan pada kasus fisika
Mengembangkan solusi numerik untuk masalah diferensiasi pada kasus fisika
Mengembangkan solusi numerik untuk masalah integrasi pada kasus fisika
Mengembangkan solusi numerik untuk masalah persamaan diferensial biasa pada kasus fisika
B. Deskripsi Mata Kuliah
Mata Kuliah ini berisi kajian mengani teknik dan metode numerik secara teoretik untuk menyelesaikan masalah dalam bidang Fisika dengan pendekatan matematis menggunakan perangkat lunak komputer.
Catatan : Mata Kuliah Analisa Numerik dapat dijalankan dengan berbagai Platfrom bahasa pemograman seperti C, C++, Pascal, Phyton, namun untuk materi yang dibagikan disini dijalankan dengan Platform Matlab
AhmadDahlan.NET – Metode Heun adalah analisi Numerik yang digunakan menghitung luas sebuah daerah yang dibatasi oleh sebuah garis dari fungsi y dengan menggunakan pendekatan Perkiraan Gradian dari Garis yang ada. Metode ini adalah modifikasi Analisi Numerik PDB dengan metode Euler.
Pada Metode Euler, Perhitungan dibatasi dengan penggunaan garis tangen dari potongan-potongan garis yang dibentuk olhe sebuah fungsi. Asumsinya semakin kecil inteval yang dibentuk maka semakin kecul pula kesalahan yang dihasilkan.
Hanya saja Prediksi dari Euler masih terdapat kekurangan, misalnya pada garis lengkung ke bawah (cekung) persaman garis tebakan akan berada di daerah atas, begitu pula sebaliknya seperti ilutrasi berikut :
Pada Metode Heun Dilakukan Pendekatan yang lebih presisi dalam mengikuti kelengkungan dari Fungsi S yakni menebak gradien antara gardien yang lewat di atas curva dan di bawah curva seperti gambar di bawah ini
Langkah Penyelesaian Metode Heun Sebagai Berikut :
1. Tentukan nilai fungsi menggunakan nilai awal x0 dan y0 :
y' = f(x_1,y_1)
2. Tentukan nilai y1+i. Persamaan ini disebut sebagai persamaan Prediktor
y_{1+i}=y_i+y'h
3. Tentukan nilai y1+i‘
y_{1+i}' =
4. Tentukan nilai rata-rata y
\overline{y}= \frac{y_1+y_{1+i}'}{2}
5. Tentukan nilai Hampiran akhir
y_{1+i}=y_i+\overline{y}*h
Persamaan ini disebut sebagai persaman Corrector.
A. Studi Kasus
Misalkan sebuah Persamaan Diferensial Biasa orde I
y' =4e^{0.8x}-5y
dengan batas bawah x = 0 dan batas x = 4 dengan langkah h = 1 dan kondisi awal y(0) = 2. Tentukan solusi numerik dari PDB Orde I tersebut dengan metode Heun!
Solusi Metode analitik dari Persaman di atas adalah :
AhmadDahlan.NET – Metode Simpson adalah metode integral numerik yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh persamaan garis f(x). Pendekatan yang dilakukan lebih detail dari Pendekatan Trapezoid dimana Daerah di bagi ke dalam dua bangun trapesium.
Solusi Integral Metode Simpson
Gambar pada sisi kiri menunjukkan metode integral analitik untuk menghitung luas wilayah yang dibatasi oleh garis f(x) yang mulai dari a sampai b. Pada gambar pada sisi kanan adalah metode Simpson yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang diarsis menggunakan metode numerik Simpson.
Metode ini Simpson sama dengan metode Trapezoida namun luas wilayah di bagi ke dalam dua trapseium sehingga hasil perhitungan jauh lebih teliti dibandingkan dengan metode Simpson. Lebar trapesium di bagi menjadi dua bagian dengan lebar h.
Metode Simpson dibagi ke dalam dua kelompok yakni :
Metode simpson 1/3
Metode simson 3/8
A. Metode simpson 1/3
Metode ini mengaproksimasi integral dengan menggunakan polinomial kuadrat. Rumus integral Simpson 1/3 untuk fungsi f(x) pada interval [a,b] adalah sebagai berikut:
function integral = simpson_1_3(f, a, b, n)
if mod(n, 2) == 1
error('n harus genap');
end
h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
fx = arrayfun(f, x);
result = fx(1) + fx(end);
result = result + 4 * sum(fx(2:2:n));
result = result + 2 * sum(fx(3:2:n-1));
integral = result * h / 3;
end
% Contoh penggunaan
f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
n = 100; % harus genap
integral = simpson_1_3(f, a, b, n);
fprintf('Nilai integralnya adalah: %.6f\n', integral);
B. Metode Simpson 3/8
Metode ini mengaproksimasi integral dengan menggunakan polinomial kubik. Rumus integral Simpson 3/8 untuk fungsi f(x) pada interval [a,b] adalah sebagai berikut:
function integral = simpson_3_8(f, a, b, n)
if mod(n, 3) ~= 0
error('n harus kelipatan 3');
end
h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
fx = arrayfun(f, x);
result = fx(1) + fx(end);
result = result + 3 * sum(fx(2:3:n));
result = result + 3 * sum(fx(3:3:n));
result = result + 2 * sum(fx(4:3:n-3));
integral = result * 3 * h / 8;
end
% Contoh penggunaan
f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
n = 99; % harus kelipatan 3
integral = simpson_3_8(f, a, b, n);
fprintf('Nilai integralnya adalah: %.6f\n', integral);
E. Tugas
Buatlah sebuah solusi integral numerik metode trapzoida untuk fungsi berikut
∫_𝑎^𝑏(3𝑥3−5)𝑑𝑥
dan
∫^b_a(cos𝑥+2)𝑑𝑥
keterangan
ganti nilai b dengan tanggal lahir anda masing-masing dan nilai a dengan bulan lahir.
Kerjakan masing-masing soal dengan metode 1/3 dan 3/8.
Ahmaddahlan.NET – Interpolasi Polinomial adalah sebuah metode yang digunakan untuk menemukan nilai dari y sebagai fungsi dari x yang belum diketahui bentuk dan persamaan fungsinya. Penentuan nilai dari y yang terkorenpodensi dari x hanya bisa dilakukan berdasarkan data-data yang didapat dari percobaan mulai (x1,y1), (x2,y2), … , (xn, yn).
Nilai x dan y ini bisa digambarkan dalam bidang kartesian x dan y, sehingga nilai y(x) bisa ditentukan berdarkan model kurba yang terbentuk. Hal ini membuat metode interpolasi juga dikenal sebagai metode pencocokan Kurva.
Misalkan sebuah pengukuran dilakukan untuk mengetahui hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja dengan waktu patah dari sebuah baja yang tidak linier. Data yang didapatkan seperti pada tabel berikut :
Tegangan (KPa)
5
10
15
20
25
30
35
waktu (jam)
40
30
25
38
18
20
22
Data dalam tabel hanya bisa menunjukkan nilai-nilai waktu sebagai x dalam interval tertentu dari tegangan yang diberikan yakni y. Untuk mengetahui nilai dari y dari rentang 5 sampai 35 yang tidak ada dalam table, maka nilai x bisa diketahui dengan metode analisi numerik.
Metode pertama yang digunakan untuk menentukan nilai y terhadap dengan nilai x adalah metode Regresi. Metode regresi ini bisa digunakan untuk menebak nilai asli dari sebaran data yang terdistribusi dengan hubungan linier antara x dan y. Namun pada tabel di atas, untuk hubungan y dan x yang lebih detail dan beragam seperti pada tabel di atas, Metode Regresi tidak cukup baik untuk menebak nilai y.
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn
Hamparan data (x1,y1), (x2,y2), … , (xn, yn) bisa digunakan untuk memprediksikan nilai x yang berada pada rentang 1 sampai n (x1 < x < xn) bisa didapatkan dari turunan tingkat tinggi dari fungsi x kemudian disebut interpolasi. Interpolasi bisa digunakna untuk menebak semua titik yang ada di (x1,y1), (x2,y2), … , (xn, yn).
A. Interpolasi Polinomial
Misalkan sebuah titik n+1 terletak disebuah titik (x0,y0), (x1,y1),…,(xn,yn), maka Polinom pn(x) dapat ditentukan dengan cara interpolasi di sepanjang titik tersebut sehingga
yi = pn(xi) dimana i = 1, 2, 3,.., n
nilai dari yi ini didapatkan dari sebuah fungsi yang bergantung f(x), sehingga yi=f(xi) atau nilai yi juga bisa berasal dari hasil percobaan yang datanya telah diketahui terlebih dahulu. pn(x) sendiri adalah Polinom Interpolasi yang merupakan fungsi hampiran f(x).
Setelah funsgi pn(x) didapatkan, maka nilai di titik tertentu seperti di titik a misalnya dapat ditentukan dengan funsgi tersebut :
x=a maka y = pna
Nilai a yang terletak di antara rentang titik data x0 < a < xn ini disebut dengan instilah interpolasi,sedangakn untuk nilai a < x0 dan a > x0 selanjutnya di sebut dengan nama extrapolasi.
a. Interpolasi Lanjar
Interpolasi lanjar adalah interpolasi yang digunakna untuk mementukan titik yang berada diantara dua buah titik yang mebentuk garis lurus. Misalkan titik (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang menginterpolasi dua titik tersebut adalah :
AhmadDahlan.Net – Persamaan Linier Multivariable merupakan salah satu pemodelan matematika yang digunakan untuk menganalisis masalah-masalah dengan Variable lebih dari satu. Pada permasalah Multivariable dengan dua variable pada kasus-kasus sederhana penyelesaiannya bisa dilakukan dengan melakukan perhitungan manual, tapi pada kasus dengan tiga variabel dengan maslaah kompleks, penyelesaian membutuhkan cara yang lebih lama dan rentang dengan human eror dalam penyelesaian.
Sebagai contoh pemodelan masalah berikut ini :
Andi membeli 3 buah buku, 2 buah pulpen dan satu penghapus dengan harga 12 ribu rupiah. Budi membeli 2 buah buku, 7 buah pulpen dan 2 penghapus dengan haraga 28 ribu rupiah, sedangkan Tono yang menukar 7 buah penghapus dengan 8 buah buku dan 2 pulpen, harus menambah 4 ribu rupiah.
Pertanyaannya adalah berapakah harga dari buku, pulpen dan penghapus tersebut?
Berdasarkan masalah tersebut kita akan membuat pemodelan matematis seperti berikut ini :
Ahmad Dahlan – Fisika merupakan cabang dari ilmu pengetahuan yang lebih dari sekedar menghitung meskipun demikian hampir tidak ada makna fisis dari objek fisika tanpa adanya bahasa matematika. Hanya saja, fisika lebih dari sekedar menghafal sederet rumus-rumus dari hukum yang diturunkan secara matematis.
Fisika harus mempertimbangkan segala aspek dan kemungkinan pada saat melakukan pemodalan masalah nyata yang ada di alam sehingga hasil perhitungan yang dilakukan tepat hampir sama memprediksi apa yang terjadi di alam ketika sebuah pemodalan fisis dilakukan.
Sebagai contoh dari hukum gravitasi Newton yang manyatakan bahwa percepatan benda jatuh ke Bumi akan selalu sama yakni dengan g = 9,8 m/s sampai dengan 10 m/s.
Oleh karena itu, kita bisa memperkirakan bahwa bola billiard yang berat dan bola kasti yang lebih ringan akan jatuh menyentuh tanah secara bersamaan setelah 2 sekon. Dari retang waktu ini kita bisa memperkirakan bahwa tinggi gedung sekitar 20 meter.
Hasil ini diperoleh dari persamaan h=½(gt2), namun apakah hal terjadi ketika kita menjatuh selembar kertas?
Tentu saja waktu agar kertas tersebut jatuh menyentuh tanah akan jauh lebih lama dibandingkan dengan bola billiar tadi apalagi jika ternyata kertas tertiup angin dan jatuh ke tempat lain. Mungkin waktu yang dibutuhkan akan lebih dari 2 sekon, namun bukan berarti hal ini bisa dijadikan dasar untuk membuat hukum Newton tidak berlaku.
Kasus tesebut hanya membuktikan bahwa kita lalai dalam memasukkan semua aspek yang ikut ambil bagian dalam menentukan lamanya kertas menyentuh tanah. Sebut saja arah angin, viskositas udara, koefisien gesek udara, luas penampang kertas dan yang paling utama di planet mana kita menjatuh kertas tersebut, hal ini akan berpengaruh ke besar percepatannnya.
Meskipun kita bisa memasukkan semua aspek dan persamaan yang ada dalam perhitungan namun dalam kasus yang lebih detail, kita mungkin saja akan tetap menemukan perbedaan antara hasil perhitungan secara teori dan kenyataan.
Perbedaan tersebut mungkin lebih besar dari ketidak pastian mutlak yang didapatkan karena keterbatasan alat ukur. Faktor tersebut bisa jadi muncul karena kekeliruan dalam proses perhitungan terutama mengabaikan angka-angka desimal ke 10 dari metode perhitungan yang kita gunakan.
Dalam proses menghitung kejadian fisis dengan tingkat ketelitian yang sangat tinggi, manusia mungkin saja tidak bisa melakukan secara tepat hingga 100 angka desimal kecuali anda tetap ngotot dan memastikan setiap angka yang ada dituliskan dengan dengan benar berdasarkan operasi matematisnya.
Tentu saja menggunakan alat bantu perhitungan otomatis sudah menjadi hal yang lumrah dan proses perhitungan yang idbantu dengan alat hitung otomatis disebut Komputasi. Kata ini diambil dari kata Cumpute yang berarti menghitung. Proses perhitungan yang melibatkan cumputer selanjtunay dikenal dengan sebutan fisika komputasi.
Dalam kasus ini kita memberikan perintah tertentu pada komputer dengan sejumlah memory yang lebih banyak dalam mendefenisikan angka dari sadar manusia sehingga hasil perhitungannya lebih detail. Selain itu, computer juga membantu manusia menjukkan hasil lebih cepat tersebut dibanding dengan otak manusia yang memang memiliki memori lebih besar namun terkadang kurang teliti pada proses perhitungan.
Gerak Parabola dengan Komputasi
Ketika duduk di bangku SMA, mungkin kita mendapat penjelasan bahwa sebuah peluru yang ditembakkan dengan sudut tertentu di atas permukaan bumi akan membentuk sebuh lintasan yang menyerupai parabola, sehingga dikenal dengan sebutan gerak parabola.
Gerak ini adalah perpaduan geral lurus beraturan ke arah horisontal dan gerak lurus berubah beraturan ke arah Vertikal.
Sebagai contoh sebuah soal yang populer digunakan untuk materi gerak parabola :
Sebuah meriam bernama Gustav Gun mampu menembakkan peluru dengan kecepatan 820 m/s. Berapakah jangkauan terjauh dari peluru yang ditembakkan oleh meriam Gustav Gun?
Jhon McLoone : 2010
Dalam kasus ini tentu saja kita berharap bawah Range terjauh dalam gerak proyektil adalah 45o, sehinga menurut rumus yang diberikan ketika SMA adalah 67 236.8 m atau 62, 236 km sesuai dengan persamaan gerak parabola.
Langkah awal adalah hitung waktu tempuhnya :
Setelha menghitung waktunya lalu masukkan ke persamaan jangkauan :
Angka tersebut kita dapatkan dengan perhitungan manual dengan bantuan Calculator, namun bagaimana jika kita mencoba menghitung dengan bantuan fisika Komputasi.
Bisa kita lakukan dengan menggunakan bantuan Software Matlab yang identik dengan bahasa program C dan C++.
Perintah :
>> y''[t] = -9.81 ; y'[0] = 820 * sin [45] ; y [0] = 0 ; x' [0] = 820 * cos [45] ; x [0] = 0 ;
>> t[mask] = 2*y'[0]/y''[t]
ans
118.212
>>R [mask] = x'[0]*t[mask]
ans
68 542.3
berdasarkan hasil perhitungan yang dilakukan dengan Matlab kita akan menemukan perbadan antara hasil dengan menggunakan kalkulator yakni 67 236.8 m sedangkan dengan komputasi 68 542.3 m. Kesalahan sejauh hampi 1,200 lebih sudah cukup untuk menyapu rata temanmu yang berada di garis depan.
Tentu saja keduanya sudah benar secara teori dalam menghitung jarak hanya saja perbedaan muncul di pembulatan angka dengan kalkulator yang terbatas, namun mari kita cek dengan data asli dari Meriam Gustav.
Tabel jangkauan meriam Gustav – Sumber : Wikipedia
Berdasarkan data yang ditunjukkan dari Wikipedia, meriam ini hanya memiliki jarak maksimum 47 km untuk tipe proyektil tipe HE dan 38 km untuk tipe AP. Ternyata berbeda sekitar hampir 50 % dair nilai perhitungan.
JIka kita berperan menggunakan perhitungan fisika sederhana dengan menggunakan gerak peluru tentu saja mush kita akan berpesta pora di seberang sisih melihat peluru lawannya jatuh jauh didepan mereka.
Untuk mendapatkan angka yang lebih nyata sesuai dengan kenyataanya, kita harus memasukkan semua aspek yang nilainya berpengaruh signifikan terhadap hasil perhitungan yakni gaya gesek hambatan udara
Fd = ½ρv2Cda
Selain aspek gesekan udara perubahan gerak peluruh terhadap arah gesekan udara juga harus diperhitungkan dengan persamaan diferensial biasa orde II. Semua aspek ini kemudian dimasukkan ke dalam perhitungan dengan bantuan komputasi untuk memodelkan gerak peluru dikehidupan nyata dengan hasil yang lebih tepat.
