Tag: Diferensial

Solusi Persamaan Diferensial dalam Ilmu Sains
Ahmaddahlan.NET – Persaman Diferensial Biasa adalah sebuah persamaan yang berisi fungsi yang tidak diketahui secara eksplisit dan turunannnya. Bentuknya seperti pada Sistem Gerak pada Pegas yang ditulis dalam bentuk PDB :
```
m\frac{d^2x}{dt^2}+D\frac{dx}{dt}+kx=F
```
dimana m adalah massa beban gantung, D adalah koefisien redaman dan k adalah konstanta elastisitas pegas. Karena x adalah fungsi dari t maka persamaan ini dapat disederhanakan dalam bentuk :
```
mx"+Dx'+kx = F
```
Persaman ini berisi besaran x yang tidak diketahui rumus eksplisit, x’ adalah turunan pertama dan x” adalah turunan kedua. Karena memiliki Orde tertinggi turunan kedua, Persamaan ini disebut Persamaan Diferensial Biasa Orde II atau PDB Orde II.

Arti dari diferensial itu sendiri dalah perubahan sebuah varibale terhadap besaran lain. Misalkan kita umpakan pegas yang berada pada posisi x kemudian bergerak, maka posisi x akan berubah sesuai dengan perubahan dari t, dalam hal ini nilai x adalah fungsi dari t dan ditulis dengan notasi x_(t).

A. Kelompok Persamaan Diferensial

Persaman diferensial terbagi ke dalam dua jenis yakni suatu fungsi yang nilainya hanya berubah terhadap satu besaran yang disebut sebagai persamaan diferensial biasa atau PDB (Ordinary Differential Equation – ODE). Persaman kedua adalah persamaan diferensial parsial yang nilai dari besaran berubah terhadap dua variable atau lebih.

1. Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan difefernsial biasa hanya memiliki satu variabel perubah. Misalkan nilai y terhadap x. Contoh persamaannya adalah :
```
(i).\frac{dx}{dt}=x+t
```
```
(ii).y'=x^2+t^2
```
```
(iii). my"+cy'=-ky
```
Misalkan sebuah fungsi f disebut sebagai besaran yang nilainya tidak diketuhui dari x :

y = f(x)

solusi dari persamaan ini adalah

f'(x)=xf(x)

dimana x adalah rentang tertentu dari sebuah perubahan. Hasil dari turunan ini selanjutnay di tulis dengan notasi

y’=f(x)

Sebagai contoh kita mengetahui bahwa solusi dari persamaan umum

y’=Axⁿ

adalah :
```
y=\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C
```
dengan C adalah konstanta sembarang.

Model Pertumbuhan Populasi

Model pertumbuhan suatu populasi berdasarkan asumsi bahwa besar laju pertumbuhan populasi bergantung dari besar populasinya. Milsanya Populasi Bakteri (N) akan berkembang menjadi 2N dalam waktu 1 detik, jika populasi awalnya adalah 6N maka satu detik berikutnya akan menjadi 12N. Nilai ini selanjutnya disebut faktor yang bisa saja nilainya tetap (konstanta) dan biasa saja nilai juga ikut berubah.

Misalkan sebuah populasi bakteri N yang membelah diri dalam rentang waktu t sebanyak k. Populasi bakteri dalam rentang waktu tertentu jadi bisa diperhitungkan dengan persamaan diferensial biasa:
```
\frac{dN}{dt}=kN
```
Jumlah dari bakteri ini tidak lain
```
\int{\frac{dN}{N}}=k\int{dt}
```
solusinya adalah
```
\ln N = kt + c
```
Jumlah bakterinya dapat dihitung dengan persamaan berikut :
```
N = e^{kt+c}
```
2. Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah sebuah persamaan dimana nilai dari sebuah variable ditentukan oleh dua buah variabel lain. Turunan dari fungsi ijni dilakukan secara parsial dimana salah satu satau dikonstankan terlebih dahulu kemudian setelah variable sisanya.

Bentuk Persamaan Diferensial Parsial sebagai berikut :
```
(i). \frac{δ^2u}{δx^2}+\frac{δ^2u}{δy^2}=6xye^{x+y}
```
dalam kasus ini u adalah fungsi dari x dan y, atau u_xy. Bentuk lain :
```
(ii). \frac{δu}{δt}=3 sin (x+t)+\frac{δ^2u}{δx^2}+(1+x^2)+\frac{δ^2u}{δy^2}
```
dalam kasus ini u adalah fungsi dari x,y dan t atau u_xyt.
11 Mei 2021
Analisis Gerak Pegas dengan PDB Orde II – Gerak Harmonis dan Teredam
Ahmaddahlan.NET – Gerak pada pegas merupakan salah satu gerak yang dapat dianalisis melalui persamaan diferensial biasa orde II (PDB Orde II). Gerak ini mengikuti hukum Newton tentang gerak. Asumsinya ada dua yakni jika terjadi secara harmonis dan tidak harmonis.

Gerak Harmonis Pegas diterapkan dengan asumsi tidak ada gaya luar yang bekerja pada pegas sehingga ketika egas diberi ganguan / simpangan, pegas akan terus berayun selaman dengan periode tetap. Asumsi ke dua jika ada gaya eksternal yang bekerja pada pegas yang nilainya kecil, maka pegas akan akan berhenti pada satu waktu tersebut. Gerak pegas ini disebut Teredam lembut atau Dumped Oscillation.

Pada sebuah pegas yang digantung beban akan terdapat empat kemungkinan gaya masing adalah :
1. Gaya berat w = mg
2. Gaya pemulih F_k = -k (y+Δy)
3. Gaya Peredam pada pegas F_D = -Dv_y
4. Gaya Eksternal F_e
Misalkan pegas diberi ganguan sehingga pegas mulai bergerak maka berlaku hukum Newton II tentang gerak
```
ΣF = ma
```
Persamaan ini kemudian di subtitusi dengan semua gaya yang bekerja pada pegas sehingga menjadi
```
W_b+F_k+F_D+Fe = ma
```
```
mg - ky - kΔy -Dv_y + F_e = ma
```
Karena mg = -ky dan v_y adalah turunan pertama perubahan posisi terhadap waktu dy/dt maka persamaan ini dapat dituls lebih sederhana.
```
-kΔy -D\frac{dy}{dt}+ F_e = m\frac{d^2y}{dt^2}
```
Jika Δy adalah besara simpangan maka bisa dianggap sebagai y, dengan demikian Bentuk umum persamaan diferensial biasa Orde II untuk Gerak harmonik pada pegas adalah :
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =F_e
```
A. Analisis Matematis Gerak Harmonis Pegas

Pada gerak pegas yang berosilasi harmonik sederhana ada dua asumsi yang dimasukkan yang tidak ada gaya peredam dan gaya eksternal yang bekerja sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +ky =0
```
bagi kedua ruas dengan m
```
\frac{d^2y}{dt^2} +\frac{k}{m}y =0
```
Pada saat pegas berada pada percepatan maksimum nilai k/m = ω², sehingga
```
\frac{d^2}{dt^2} y+ω^2y =0
```
```
(\frac{d^2}{dt^2} +ω^2)y =0
```
Misalkan :
```
\frac{d^2}{dt^2} = r^2
```
maka bisa disimpulkan
```
r^2 + ω^2 = 0
```
Persamaan ini r²+ω²=0 memiliki akar-akar yang homogen seperti pada Solusi Umum PBD Orde II yakni r_1,2 = ±iω₀ dengan solusi :
```
y_{(t)}=c_1 \cosω_0t+c_2\sinω_0t
```
Untuk menentukan nilai konstanra c₁ dan c₂, kita lakukan sedikit trik dengan mengalikan ke dua ruas dengan :
```
\frac{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}=1
```
Sehingga persamaan dapat ditulis dengan :
```
y_{(t)}=\sqrt{c_1^2+c_2^2}(\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} \cosω_0t+\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\sinω_0t)
```
Misalkan R²=C₁²+C₂², diambil dari sebuah segitiga siku-siku, maka
```
\cosθ=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} 
```
dan
```
\sin θ= \frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}
```
Sehingga solusi y_(t) dapat ditulis :
```
y_{(t)}=R (\sinθ\cos ω_0t+\cosθ\sin ω_0t)
```
Bisa disederhanakan dengan indetintas Trigonometri yakni
```
y_{(t)}=R \cos (ω_0t±θ)
```
Dimana
y_(t)= simpangan gelombang
R = Amplitudo
θ = bilangan gelombang
ω₀ = frekuensi sudut dimana ω₀²=k/m

B. Analisis Matematis Gerak Pegas Teredam Lembut

Pada kasus dunia nyata misalnya sebauh pegas yang dipasang pada sebuah motor. Pegas akan mendapatkan gaya peredam dari pegas agar getaran berhenti.
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =F_e
```
Pada kasus Pegas teredam Lembut maka F_e adalah nol, sehingga peredam hanya berasal dari gaya peredam pegas.
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =0
```
Kita gunakan pemisalan r = d/dt, sehingga persamaan ini dapat ditulis
```
(m.r^2+D.r+k)y=0
```
dengan demikian :
```
m.r^2+D.r+k=0
```
Pada kasus terdeam lembut Diskiriman berlaku D² – 4mk < 0 sehingga akar-akar dapat dinyatakan dalam bilangan real dengan bentuk :
```
r_{1,2}=\frac{-b±i\sqrt{4mk-D^2}}{2m}=\frac{-b}{2m}±\frac{i\sqrt{4mk-D^2}}{2m}
```
suku pertama adalah α dan β. Bentuk solusi dari dari persamaan ini adalah :
```
y_{(t)}=c_1e^{α +iβt}+c_2e^{α -iβt}
```
masukkan nilai α dan β, sehingga solusinya gerak terdemannya menjadi
```
y_{(t)}=Re^{\frac{-d}{2m}t}\cosβt-θ
```
Dimana R adalah Simpangan maksimum awal atau y₀

Bentuk Getarannya seperti berikut :
9 Mei 2021
Solusi dan Bentuk Umum Dari PDB Orde 2 – Homogen
Ahmaddahlan.NET – Persamaan diferensial orde n melibatkan sebuah variable yang bergantung pada nilai variable lain dengan orde turunan ke-n. Misalkan sebuah persamaan x yang berubah terhadap y. Persamaan ini memiliki dua bentuk yang PDB Orde II Homogen dan Tak Homogen.
```
y"+P_{(x)}y'+Q_{(x)}y=R_{(x)}
```
Bentuk Umum PDB Orde II Homogen

Jika sebuah persamaan memiliki nilai R_(x)=0, maka Persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Homogen dengan bentuk :

y” + ay’ + by = 0

atau :

(D²+aD¹+b)y = 0

dimana a dan y ≠ 0, misalkan Dy = ry dimana solusi sederhana dari ry = Ae^rx, maka:

D²y = D(Dy) = D(ry) = r (Dy) = r(ry) = r²y

sehingga persamaan (D²+aD¹+b)y = 0 bisa ditulis (r² + ar + b) y = 0, dengan demikian

r² + ar¹ + b = 0

Fungsi r² + ar + b ini adalah fungsi polinom dengan karakteristik diskriminan

∆ = a² + 4b

Nilai diskriminan ini terdapat 3 kemungkinan yakni ∆ > 0, ∆ = 0, dan ∆ < 0.

a. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ > 0

Pada persamaan r² + ar¹ + b = 0 dengan r₁ ≠ r₂ dimana ∆ > 0 berasal dari nilai a > 0 dan a² > 4b, maka solusi adalah

u₁ = e^r1x dan u₂ = e^r2x

Dengan demikian solusi umumnya sebagai berikut

y = c₁e^r₁x + c₂e^r₂x

b. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ = 0

Untuk nilai diskriminan ∆ = 0, maka nilai a² = 4b sehingga :
```
 r^2 + ar^1 + b = r^2+ar^1+\frac{a^2}{4}=0
```
```
(r+\frac{a}{2})^2 = 0
```
suku diatas memiliki akar-akar persamaan :
```
r=-\frac{a}{2} (akar ganda)
```
Nilau suku ux terbagi dalam dua kemungkinan yakni :

u_x = λu_x = e^rx

sedangkan u_x ≠ λu_x, misalkan :

v_(x) = xu_(x) = xe^rx

maka turunan v terhadap x adalah turunan parsial Dv = u.dv + v.du

Dv=e^rx +rxe^rx=(1+rx)e^rx

D²v = D e^rx(1+rx) = re^rx(1+rx) + re^rx

(r²x+2r ) e^rx

Subtitusikan ke persamaan (D² + aD + b ) v, hasilnya

((r²x+2r ) e^rx) + a (1 + rx) e^rx+ b ) xe^rx

Satukan suku-suku yang sama

(r²x + ar + b) x + (a + 2r) e^rx = 0

maka

(r²x + ar + b) x = 0 dan (a + 2r) e^rx = 0

Jadi v_(x) = xe^rx adalah solusi dari u_(x) dan v_(x) bebas dan linier, solusi umumnya adalah :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

c. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ < 0

Untuk ∆ = a² – 4b < 0, maka akar-akar persamaan akan menghasilkan bilangan kompleks yang saling konjugat :
```
r_{1,2}=\frac{-a ± \sqrt{a^2-4b}}{2}
```
karena nilai a² – 4b < 0 maka akar-karnya irsaional sehingga
```
r_{1,2}=\frac{-a}{2}+i \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
dimana i² = -1

masalkan :
```
α = \frac{-a}{2}
```
dan
```
β =\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
nilai dari r₁ = α + iβ dan r₂ = α – iβ. akar-akar persamaan adalah :
```
\overline{y}_1=e^{r_1x}=e^{α+iβ}=e^{αx}(\cosβ+i \sin β)
```
dan
```
\overline{y}_2=e^{r_2x}=e^{α-iβ}=e^{αx}(cosβ-i \sin β)
```
Persamaan tersebut bisa disederhanakan dengan menggunakan identitas Trigonometri
```
y_1(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 + \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\cosβ
```
dan
```
y_2(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 - \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\sinβ
```
sehingga solusi umunya adalah :

y(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) = e^ax(cos β + sin β)

Kesimpulan

1. Untuk r₁ ≠ r₂ maka y₁ = e^r1x dan y₂ = e^r2x dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^r1x+ c₂e^r2x

2. Untuk r₁ = r₂ maka y₁ = e^rx dan y₂ = xe^rx dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

3.Untuk r₁ = u + wi dan r₂= u – wi atau disebut akar kompleks konjugat maka y₁ = e^ux cos wx dan y₂ = e^ux sin wx solusinya adalah :

y = e^ux ( c₁ cos wx + c₂ sin wx)
7 Mei 2021

Tag: Diferensial

Solusi Persamaan Diferensial dalam Ilmu Sains

A. Kelompok Persamaan Diferensial

1. Persamaan Diferensial Biasa

2. Persamaan Diferensial Parsial

Analisis Gerak Pegas dengan PDB Orde II – Gerak Harmonis dan Teredam

A. Analisis Matematis Gerak Harmonis Pegas

B. Analisis Matematis Gerak Pegas Teredam Lembut

Solusi dan Bentuk Umum Dari PDB Orde 2 – Homogen

Bentuk Umum PDB Orde II Homogen

a. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ > 0

b. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ = 0

c. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ < 0