Tag: Persamaan Linier

AhmadDahlan.NET – Metode Gauss adalah sebuah metode mengoperasikan nilai-nilai matriks agar menjadi lebih sederhana menggunakan operasi baris elementer (OBE). Fungsinya metode Gauss ini banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier yang kompleks.

Hasil dari operasi ini biasanya berbentuk matriks eselon-baris. Metode ini dimulai dengan mengubah persamaan linear ke dalam matriks ter-augmentasi. Selanjutnya matriks Eselon-baris ini disubtitusi invers.

Secara umum persamaan linier dapat dituliskan dalam notasi sebagai berikut :

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_3nx_n = b₂
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_3nx_n = b₂
a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m

Bentuk Esolon Baris

(1) Dalam baris elemen-elemen matriks yang tidak semuanya nol, bilangan pertamanya harus dimulai 1.

Perhatikan baris pertama dan baris kedua matriks yang berwarna biru dan hijau, ke dua baris tersebut telah memenuhi syarat karena bilangan pertama dimulai dari 1, sedangkan yang berwarna merah dimulai dari -1, bukan 1.

(2) semua baris elemen-elemen matriks yang isinya 0 harus diletakkan paling bawah.

Pada matrisk di atas, aturan ke dua tidak terpenuhi karena baris yang semuanya nol tidka berada paling bawah, posisnya di urut dari 0 yang paling sedikit di awal sampai ke bawah. Hal ini juga membuat susunan matriks ini dikenal dengan sebutan matrik segitiga terbalik.

(3) Jika terdapat matriks 1 utama yang memenuhi aturan pertama (1) maka letak posisi satunya harus berada di posisi sebelah kanan dari 1 di atasnya.

Matrik ini melanggar aturan (3) karena pada baris ketiga angka 1 utamanya terlatak pada kolom yang sama, harusnya lebih ke kanan, misalnya sebagai berikut :

Misalnya tiga buah persaman linier sebagai berikut :

1. x + y + 2z = 9
2. 2x + 4y – 3z = 1
3. 3x + 6y – 5x = 0

Metode Gauss di Matlab (non-Program)

A=[1 1 2 9;2 4 -3 1;3 6 -5 0]
A(2,:)=-2*A(1,:)+A(2,:)
A(3,:)=-3*A(1,:)+A(3,:)
A(2,:)=A(2,:)/2
A(3,:)=-3*A(2,:)+A(3,:)
A(3,:)=-2*A(3,:)
z=A(3,4)
y=A(2,4)-z*A(2,3)
x=A(1,4)-(A(1,2)*y+A(1,3)*z)

Jika sintaks ini ditulis dengan benar, seharusnya akan muncul matriks dengan hasil sebagai berikut :

1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 0 3

Dari hasil ini bisa disimpulkan x =1, y = 2 dan z = 3

Metode Gauss-Jordan (Program)

n=input('Jumlah Matriks=');
for i=1:n-1
   M(1,:)=input(['Masukkan SPL baris ke-'num2str(i) '=']);
end
disp(M)
for i=1;n-1
   if M(i,i)==0
       a=1;
       while M(a,1)==0
           a=a+1;
       end
       T=M(i,:);
       M(i,:)=M(a,:);
       M(a,:)=T;
       disp(['B'num2str(i)'<--> B'num2str(a)])
       disp(M)
   end
   for j=i+1:n
      if(M,j)~=0
          disp (['B'num2str(j)'-(num2str(M,(j,i))'/') ...
               '(num2str(M,(j,i))
          M(j,:)=M(J,:)=((M(j,i)./M(i,i))*(M(i,i));
          disp(M)
       end
    end
end
if M(n,n)=0&M(n,n+1)~=0
  disp('Tidak memiliki solusi tunggal')
else
   for i=n:-1:2
       for j=1-1:-1:1
           disp('B'num2str(j)'-('num2str(j,i))'/'...
               num2str(M,(j,i))'B'num2str(i)])
           M(j,:)=M(j,:)-(1/M(j,i)./M(i,i))*(i,:));
           disp(M)
       end
   end
   for i=1:n
       disp(['(1/'num2str(M(i,i)) ')B' num2str(i)])
       M(i,:)-1(i,i))*M((i,:);
       disp (M)
   end
   disp('Matrik Solusi')
   disp (M)
   disp('Solusi')
   for i=1:n
       disp(['x'num2str(i) '-' num2str(M(1,n+1))])
   end
end

Seteleh menyelesaikan syntaks tersebut, silahkan di run programnya.

Jumlah Matriks = 3
Masukkan SPL baris ke-1=[1 1 2 9]
Masukkan SPL baris ke-2=[2 4 -3 1]
Masukkan SPL baris ke-3=[3 6 -5 0]

Setelah itu enter input tersebut.