Matlab – Solusi Persamaan Linier dengan Metode Jacobi dan Gauss-Seidel

AhmadDahlan.Net– Mari kita asumsikan kasus Persamaan Linier sebagai berikut :

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
a21x2+a22x2+...+a2nbn=b2
.
.
.
am1x1+am2x2+...+amnbn=bn

Metode Jacobi dilakukan untuk persamaan linier dimana a₁₁, a₂₁, .. a_m1 tidak 0. Solusi dari masalah ini adalah :

x1=1/a11(b1 - a12x2 - a13x3 - … a1nxn)
x2=1/a22(b2 - a22x2 - a23x3 - … a2nxn)
.
.
.
xm=1/amm(bm - am2xm - am3xm - … amnxn)

Solusi dari Jacobi Metode untuk masalah ini adalah :

for i=1,2,..,n

A. Metode Gauss-Seidel

Matrik awal A, b dan perkiraan x, inpuut-nya

A=[5 -2 3 0 6; -3 9 1 -2 7.4; 2 -1 -7 1 6.7; 4 3 -5 7 9; 2 3.5 6.1 -4 -8.1]

A =
5.0000 -2.0000 3.0000 0 6.0000 -3.0000 9.0000 1.0000 -2.0000 7.4000 2.0000 -1.0000 -7.0000 1.0000 6.7000 4.0000 3.0000 -5.0000 7.0000 9.0000 2.0000 3.5000 6.1000 -4.0000 -8.1000

b=[-1 2 3 0.5 3.1]'

b =
-1.0000 2.0000 3.0000 0.5000 3.1000

x=rand(5,1)

x =
0.5447 0.6473 0.5439 0.7210 0.5225

n=size(x,1);
normVal=Inf;
% toleransi
tol=1e-3; GaussItr=0;

Script Solusi

plotGauss=[];
while normVal>tol 
    x_old=x; 
    for i=1:n 
        sigma=0; 
        for j=1:i-1 
            sigma=sigma+A(i,j)*x(j); 
        end 
        for j=i+1:n 
            sigma=sigma+A(i,j)*x_old(j); 
        end x(i)=(1/A(i,i))*(b(i)-sigma); 
    end 
    GaussItr=GaussItr+1; 
    normVal=norm(x_old-x); 
    plotGauss=[plotGauss;normVal];
end
fprintf('solusinya adalah : \n%f\n%f\n%f\n%f\n%f in %d iterations',x,GaussItr);

B. Metode Jacobi

plotJacobi=[];
while normVal>tol 
    xold=x; 
    for i=1:n 
       sigma=0; 
       for j=1:n 
           if j~=i 
             sigma=sigma+A(i,j)*x(j); 
           end 
       end 
       x(i)=(1/A(i,i))*(b(i)-sigma); 
     end 
     JacobItr=JacobItr+1; 
     normVal=norm(xold-x); 
     plotJacobi=[plotJacobi;normVal];
end

fprintf('Solusi : \n%f\n%f\n%f\n%f\n%f in %d iterations',x,JacobItr);

C. Perbandingan Hasil Metode Gauss Seidel Vs Jacobi

figure
hold on
plot(1:5:GaussItr,plotGauss(1:5:GaussItr),'LineWidth',2)
plot(1:5:JacobItr,plotJacobi(1:5:JacobItr),'LineWidth',2)
text(GaussItr,0.2,'\downarrow')
text(GaussItr,0.3,'Gauss Seidel')
text(JacobItr,0.3,'\downarrow')
text(JacobItr,0.4,'Jacobi')
legend('Gauss Seidel ','Jacobi ')
ylabel('Error Value')
xlabel('Number of iterations')
title('Gauss Seidel Vs Jacobi')
hold off