Analisis Numerik -Interpolasi Polinomial

2 min read

Metode Interpolasi Polinomial

Ahmaddahlan.NET – Interpolasi Polinomial adalah sebuah metode yang digunakan untuk menemukan nilai dari y sebagai fungsi dari x yang belum diketahui bentuk dan persamaan fungsinya. Penentuan nilai dari y yang terkorenpodensi dari x hanya bisa dilakukan berdasarkan data-data yang didapat dari percobaan mulai (x1,y1), (x2,y2), … , (xn, yn).

Nilai x dan y ini bisa digambarkan dalam bidang kartesian x dan y, sehingga nilai y(x) bisa ditentukan berdarkan model kurba yang terbentuk. Hal ini membuat metode interpolasi juga dikenal sebagai metode pencocokan Kurva.

Misalkan sebuah pengukuran dilakukan untuk mengetahui hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja dengan waktu patah dari sebuah baja yang tidak linier. Data yang didapatkan seperti pada tabel berikut :

Tegangan (KPa) 5101520253035
waktu (jam)40302538182022

Data dalam tabel hanya bisa menunjukkan nilai-nilai waktu sebagai x dalam interval tertentu dari tegangan yang diberikan yakni y. Untuk mengetahui nilai dari y dari rentang 5 sampai 35 yang tidak ada dalam table, maka nilai x bisa diketahui dengan metode analisi numerik.

Metode pertama yang digunakan untuk menentukan nilai y terhadap dengan nilai x adalah metode Regresi. Metode regresi ini bisa digunakan untuk menebak nilai asli dari sebaran data yang terdistribusi dengan hubungan linier antara x dan y. Namun pada tabel di atas, untuk hubungan y dan x yang lebih detail dan beragam seperti pada tabel di atas, Metode Regresi tidak cukup baik untuk menebak nilai y.

xx1x2x3xn
yy1y2y3yn

Hamparan data (x1,y1), (x2,y2), … , (xn, yn) bisa digunakan untuk memprediksikan nilai x yang berada pada rentang 1 sampai n (x1 < x < xn) bisa didapatkan dari turunan tingkat tinggi dari fungsi x kemudian disebut interpolasi. Interpolasi bisa digunakna untuk menebak semua titik yang ada di (x1,y1), (x2,y2), … , (xn, yn).

Perbedaan Regresi dan Interpolasi Linier

A. Interpolasi Polinomial

Misalkan sebuah titik n+1 terletak disebuah titik (x0,y0), (x1,y1),…,(xn,yn), maka Polinom pn(x) dapat ditentukan dengan cara interpolasi di sepanjang titik tersebut sehingga

yi = pn(xi) dimana i = 1, 2, 3,.., n

nilai dari yi ini didapatkan dari sebuah fungsi yang bergantung f(x), sehingga yi=f(xi) atau nilai yi juga bisa berasal dari hasil percobaan yang datanya telah diketahui terlebih dahulu. pn(x) sendiri adalah Polinom Interpolasi yang merupakan fungsi hampiran f(x).

Setelah funsgi pn(x) didapatkan, maka nilai di titik tertentu seperti di titik a misalnya dapat ditentukan dengan funsgi tersebut :

x=a maka y = pna

Nilai a yang terletak di antara rentang titik data x0 < a < xn ini disebut dengan instilah interpolasi,sedangakn untuk nilai a < x0 dan a > x0 selanjutnya di sebut dengan nama extrapolasi.

a. Interpolasi Lanjar

Interpolasi lanjar adalah interpolasi yang digunakna untuk mementukan titik yang berada diantara dua buah titik yang mebentuk garis lurus. Misalkan titik (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang menginterpolasi dua titik tersebut adalah :

p1(x)=ao+a1x

Interpolasi Lanjar di titik Linier

y0 = a0 + a1x0

y1 = a0 + a1x1

a1 = (y1-y0)/(x1-x0) dan a0 = (x1y0 – x0y1) / (x1-x0)

Jika persamaan ini diamasukka ke dalam p1(x)=ao+a1x maka akan didapatkan :

Mote Interlpolasi Polinomial Lanjar

kemudian disederhanakan menjadi :

Rumus Analisis Numerik Metode Lanjar Interpolasi

Contoh kasus penggunaan Metode Lanjar untuk menentukan besar perubahan jarak perpindahan dari sebuah benda berdasarkan fungsi dari waktu.

Jarak10 m31 m
Waktu5 sekon16 sekon

tentukan posisi perpindahan benda pada saat 8 sekon sejak bergerak!

b. Interpolasi Kuadratik

Misalkan dari tiga buah titik yakni (x0, y0), (x1, y1) dan (x2, y2) dari Polinom kuadratik dengan fungsi :

p2(x) = a0 + a1x1+ a2x2

Bila fungsi tersebut disketsa maka akan didapatkan bentuk kurva seperti berikut :

Info kurva Kuadratik

Polinom ini kemudian bisa disulih ke dalam bentuk (xi,yi) dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yakni a0, a1, dan a2 :

a0 + a1x0 + a2x02 = y0

a1 + a1x1 + a2x12 = y1

a2 + a1x2 + a2x22 = y2

Untuk mengetahui nilai a0, a1, dan a2 bisa dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss.

c. Interpolasi Kubik

Misalkan dari tiga buah titik yakni (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3) dari Polinom kuadratik dengan fungsi :

p2(x) = a0 + a1x1+ a2x2 + a3x3

Bila fungsi tersebut disketsa maka akan didapatkan bentuk kurva seperti berikut :

Grafik Interpolasi Polinomial Kubik

sama dengan interpolasi kuadratik, maka solusi untuk menentukan nilai a0, a1, a2 dan a3 dilakuakn dengan metode Eliminasi gauss.

Tinggalkan Balasan