Belajar Matlab – Solusi Integral Metode Simpson

AhmadDahlan.NET – Metode Simpson adalah metode integral numerik yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh persamaan garis f(x). Pendekatan yang dilakukan lebih detail dari Pendekatan Trapezoid dimana Daerah di bagi ke dalam dua bangun trapesium.

Solusi Integral Metode Simpson

Gambar pada sisi kiri menunjukkan metode integral analitik untuk menghitung luas wilayah yang dibatasi oleh garis f(x) yang mulai dari a sampai b. Pada gambar pada sisi kanan adalah metode Simpson yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang diarsis menggunakan metode numerik Simpson.

Metode ini Simpson sama dengan metode Trapezoida namun luas wilayah di bagi ke dalam dua trapseium sehingga hasil perhitungan jauh lebih teliti dibandingkan dengan metode Simpson. Lebar trapesium di bagi menjadi dua bagian dengan lebar h.

Metode Simpson dibagi ke dalam dua kelompok yakni :

1. Metode simpson 1/3
2. Metode simson 3/8

A. Metode simpson 1/3

Metode ini mengaproksimasi integral dengan menggunakan polinomial kuadrat. Rumus integral Simpson 1/3 untuk fungsi f(x) pada interval [a,b] adalah sebagai berikut:

\int^b_a f(x).dx≈\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

Untuk membagi ke lebih banyak sub-interval dapat digunakan:

\int^b_a f(x).dx≈\frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\Sigma^{n-1}_{i=1,3,5, ...}f(x_i)+2\Sigma^{n-2}_{i=2,4,6, ...}f(x_i)+f(x_n)\right]

Di mana:

• n adalah jumlah sub-interval (harus genap),
• h=(b−a)/n
• xi=a+ih

Contoh Implementasi dengan Matlab

function integral = simpson_1_3(f, a, b, n)
    if mod(n, 2) == 1
        error('n harus genap');
    end
    
    h = (b - a) / n;
    x = a:h:b;
    fx = arrayfun(f, x);
    
    result = fx(1) + fx(end);
    result = result + 4 * sum(fx(2:2:n));
    result = result + 2 * sum(fx(3:2:n-1));
    
    integral = result * h / 3;
end

% Contoh penggunaan
f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
n = 100;  % harus genap

integral = simpson_1_3(f, a, b, n);
fprintf('Nilai integralnya adalah: %.6f\n', integral);

B. Metode Simpson 3/8

Metode ini mengaproksimasi integral dengan menggunakan polinomial kubik. Rumus integral Simpson 3/8 untuk fungsi f(x) pada interval [a,b] adalah sebagai berikut:

\int^b_af(x).dx≈\frac{3h}{8}\left[ f(a)+3f(a)\left(a+\frac{h}{3}\right) +3f(a)\left(a+\frac{2h}{3}\right)+f(b)\right]

Untuk lebih banyak sub-interval, rumus umum Simpson 3/8 adalah:

\int^b_af(x).dx≈\frac{3h}{8}\left[ f(x_0)+3\Sigma^{n-1}_{i=1,2,4,5 ...}f(x_i)+2\Sigma^{n-3}_{i=3,6,9, ...}f(x_i)+f(x_n)\right]

dimana n kelipatan bilangan 3.

Contoh Implementasi dengan Matlab

function integral = simpson_3_8(f, a, b, n)
    if mod(n, 3) ~= 0
        error('n harus kelipatan 3');
    end
    
    h = (b - a) / n;
    x = a:h:b;
    fx = arrayfun(f, x);
    
    result = fx(1) + fx(end);
    result = result + 3 * sum(fx(2:3:n));
    result = result + 3 * sum(fx(3:3:n));
    result = result + 2 * sum(fx(4:3:n-3));
    
    integral = result * 3 * h / 8;
end

% Contoh penggunaan
f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
n = 99;  % harus kelipatan 3

integral = simpson_3_8(f, a, b, n);
fprintf('Nilai integralnya adalah: %.6f\n', integral);

E. Tugas

Buatlah sebuah solusi integral numerik metode trapzoida untuk fungsi berikut

∫_𝑎^𝑏(3𝑥3−5)𝑑𝑥

dan

∫^b_a(cos⁡𝑥+2)𝑑𝑥

keterangan

1. ganti nilai b dengan tanggal lahir anda masing-masing dan nilai a dengan bulan lahir.
2. Kerjakan masing-masing soal dengan metode 1/3 dan 3/8.