Belajar Matlab – Solusi Integral Metode Simpson

AhmadDahlan.NET – Metode Simpson adalah metode integral numerik yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh persamaan garis f(x). Pendekatan yang dilakukan lebih detail dari Pendekatan Trapezoid dimana Daerah di bagi ke dalam dua bangun trapesium.

Gambar pada sisi kiri menunjukkan metode integral analitik untuk menghitung luas wilayah yang dibatasi oleh garis f(x) yang mulai dari a sampai b. Pada gambar pada sisi kanan adalah metode Simpson yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang diarsis menggunakan metode numerik Simpson.

Metode ini Simpson sama dengan metode Trapezoida namun luas wilayah di bagi ke dalam dua trapseium sehingga hasil perhitungan jauh lebih teliti dibandingkan dengan metode Simpson. Lebar trapesium di bagi menjadi dua bagian dengan lebar h.

Pendekatan dapat diformulasikan dalam bentuk berikut :

\int^b_af(x)dx=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]-\frac{h^5}{90}f^5(ξ)

dengan x₀ = a, x₂ = b, x₁ = a+h dimana nilai h :

h=\frac{a-b}{2}

Jika suku terakhir diabaikan maka solusi :

\int^b_af(x)dx=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]

A. Studi Kasus

Sebuah fungsi f(x)=sin x dengan interval x = 0 sampai dengan x = 2, tentukan solusi persamaan tersebut dengan metode simpson.

Langkah 1 – Tentukan x₀, x₁, x₂, dan h

x₀ = 0
x₂ = 2
h = (2 – 0)/2 = 1
x₁ = 0 + 1 = 1

Langkah 2 – Tentukan f(x₀), f(x₁), f(x₂)

f(x₀) = sin 0 = 0
f(x₁) = sin 1 = 0,841
f(x₂) = sin 2 = 0,909

Langkah 3 – Tentukan nilai integral fungsi

\int^2_0 \sin xdx=\frac{1}{3}[0+4(0,841)+0,909] = 1,424

Bandingkan dengan Metode Analitik

\int^2_0 \sin xdx=-\cos x|^2_0 = 0,416 + 1 = 1,416

B. Membuat Script di Matlab

clear all
clc

a = ...
b = ...

x0 = a;
x2 = b;
h = (a-b)/2;
x1 = a+h;

Int_simps = h/3*(f(x0)+4*f(x1)+f(x2))

eksternal Script

function y = f(x)
y = ... 

Latihan

Tentukan luas daerah yang melewati garis f(x) untuk muali x = 2 sampai x = 3 menggunakan metode Simpson, jika :

f(x) = \sqrt{1+x^2}

Bandingkan hasilnya dengan metode analitik!