Kategori: Matematika

Analisis Solusi Matematis Untuk Gerak Parabola
AhmadDahlan.NET – Ketika kita melempar sebuah batu ke arah depan seperti saat melembar buah mangga, gerak batu tersebut akan membentuk lintasan melengkung seperti parabola. Demikian saat sebuah boleh ditendang, lintasan yang terbentuk adalah gerak parabola, hanya saja karena massa jenis bola relatif rendah, maka hambatan udara terkadang akan merubah arah gerak bola dari lintasan parabola sempurna.

Gerak parabola juga kadang disebut gerak peluru jika meurujuk pada artikel berbahasa inggris yang menyebut gerak parabola sebagai Projectile Motion. Gerak ini adalah gerak vektor yang bisa dianalisis dengan solusi matematis.

A. Gerak Parabola

Gerak parabola dapat didefenisikan ketika sebuah benda dilemparkan dengan kecepatan awal v₀ pada sudut θ yang diukur dari garis horisontal. Benda ini akan bergerak dengan dua vektor kecepatan yakni ke arah vertikal (y) dan gerak ke arah horisontal (x).

Segera setelah kecepatan arah y menjadi nol, benda akan mencapai ketinggian maksimal (h_maks). Titik ini menjadi titik balik ke arah sumbu y, sampai akhirnya benda mencapai tanah. Setelah mencapai tanah jarak ini disebut sebagai x_maks. x_maks ini kadang disebut sebagai jangkaun maksimum dan disimbolkan R dari kata range.

B. Persamaan Gerak Parabola tanpa Hambatan Udara

Analisis gerak parabola dilakukan dengan pemodelan tanpa hambatan udara sehingga seluruh gerak hanya dipengaruhi oleh tiga variable yakni kecepatan awal (v₀), percepatan gravitasi (g) dan ketinggian awal (h₀). Analisis dipisahkan ke dalam sumbu kartesian x dan y karena gerak parabola sederhana adalah gerak dua dimensi.

Sehingga vektor geraknya adalah :

x₍₀₎ = 0
x’₍₀₎ = v₀ cos θ

y₍₀₎ = 0
y’₍₀₎ = v₀ sin θ

Jika hambatan udara diabaikan maka gerak arah sumbu x adalah gerak lurus beratuan (GLB) dan gerak ke arah sumbu y adalah gerak yang dipengaruhi oleh percepatan grafitasi (g). Pada saat bergerak ke atas maka geraknya diperlambat dan ketika ke bawah dipercepat.

Dengan demikian kita dapat selesaikan masalah gerak parabola dengan metode diferensial untuk du akomponen gerak yakni :

Komponen x

x”_(t) = 0
x’_(t) = v₀ cos θ
x_(t) = v₀t cos θ

Komponen y

y”_(t) = -g
y’_(t) = -gt + v₀ sin θ
y_(t) = -1/2 gt + v₀t sin θ + c

c adalah kontantan yang menunjukkan ketinggian awal dari benda jika ketinggian awalnya 0 maka persamaan nya menjadi y_(t) = -1/2 gt + v₀t sin θ.

Persamaan ini sudah bisa menggambarkan gerak parabola sebagai fungsi dari t, namun tidak untuk mengetahui jangkaun maksimum dari gerak benda karena arah g berubah setelah v_y menjadi 0. Kedua persamaan ini bisa disubtitusikan untuk menformulasikan persamaan gerak horisontal x dengan memasukkan nilai t
```
t = \frac{x}{v_0 \cos θ}
```
setelah masukkan nilai t ke persamaan sumbu y sehingga kita bisa dapatkan persamaan y sebagai fungsi dari x dengan demikian :
```
y_{x}=h +v_0\sin θ\left ( \frac{x}{v_0 \cos θ}\right )-\frac{1}{2}g \left ( \frac{x}{v_0 \cos θ}\right )^2
```
persamaan ini bisa disederhanakan
```
y_{x}=h +x \tanθ -\frac{1}{2}\frac{gx^2}{v_0^2}\sec^2θ
```
Persamaan ini adalah persamaan umum y sebagai fungsi dari x.

Karena y_x ini tidak melulu sejajak dengan sumbu maka kita sebuy persamaan persamaan posisi yakni p_x.

1. Persamaan Jangkauan Maksimum

Dalam gerak para bola biasanya timbul pertanyaan tentang jangkauan maksimum dari gerak parabola. Misalkan setiap θ ini berubah akan berdampak pada perubahan jarak yang ditempuh kita misalkan saja x_i. Selain θ sebenarnya jaangkauan gerak parabola ditentukan dengan kecepatan awal v₀, tapi dalam pemodelan ini kita tinjau v₀ tetap.

Karena setiap x akan berubah setiap berubah θ, maka x ini adalah fungsi dari dθ, dengan demikian kita sebuat saja fungsi y_xdigunakan untuk menemukan persamaan umum gerak ke arah horisontal. Kita sebuah saja persamaan ini adalah ψ. Dengan demikin persamaan y_x bisa ditulis sebagai berikut :
```
ψ'=y'=h +d_θ\tanθ -d_θ^2\frac{1}{2}\frac{g}{v_0^2}\sec^2θ
```
maka :
```
ψ'.d'_θ=d_θ\sec^2θ+d'_θ\tan θ-\frac{g}{v^2}d_θ^2\secθ(\sec θ\tanθ)+d_θd'_θ\sec^2θ
```
karena
```
d'_{θ_m}=0
```
maka
```
0=d'_{θ_m} \sec^2θ-\frac{g}{v^2}d^2_{θ_m} \secθ_m \tan θ_m
```
```
d_{θ_m}=\frac{v^2}{g}\cotθ_m
```
11 Oktober 2021
Aplikasi Persamaan Diferensial Orde I pada Model Pertumbuhan Eksponensial
AhmadDahlan.NET – Kasus perubahan / pertumbuhan eksponensial adalah sebuah model yang digunakan untuk memprediksi jumlah dari sebuah populasi yang bertambah seiring dengan jumlah waktu. Solusinya dalam bentuk persamaan diferensial yang menunjukkan perubahan nilai dari sesuatu variable terhadpa rentang variable tertentu.

Misalkan sepasang kelinci akan menghasilkan keturunan sepeasang setiap 1 bulan, maka pada bulan berikutnya sepasang kelinci awal akan mengasilkan satu pasang lagi. Dalam sepuluh bulan sepasang kelinci awal ini adakan menghasilkan 10 pasang kelinci, namun kelinci yang dilahirkan pada bulan pertama juga akan menghasilkan keturunanan sepasang pada bulan berikutnya, demikian setereusnya sehingga pertumbuhan kelinci ini tidaklah linier melainkan eksponensial.

Jumlah kelinci dalam kasusu ini dapat diprediksi dengan pemodelan pertumbuhan eksponensial. Misalkan Jumlah populasi bertambah sebesar Δy dipengaruhi jumlah awal y, faktor pertambahan k, dan rentang waktu tertentu Δt.
```
\frac{dy}{dt}= \lim\limits_{Δx\rightarrow 0}\frac{Δy}{Δt}=ky = kdt
```
Bentuk persamaan umumnya adalah :
```
\frac{dy}{dt} = yk
```
Solusi umum dari persamaan ini adalah :
```
\int\frac{dy}{y} = \int kdt
```
```
\ln y |^y_{y_0}= kt + C
```
```
y=y_0e^{kt}
```
jika unsur k > 0 maka populasi ini akan bertambah seiring dengan waktu dan jika k < 0 maka nila y akan berkurang seiring waktu. y_o adalah unsur yang menentukan besar populasi awal yang ada, jika tidak ada populasi maka tidak akan ada perubahan jumlah populasi.

Contoh Grafik Pengurangan Eksponensial

Pemodelan Kasus Fisika dengan PDB Orde I

A. Peluruhan Zat Radioaktif

Zat radiokaktif adalah zat yang tidak stabil dan jumlah akan selalu berkurang setengah dari jumlah awal dalam rentang waktu tertentu. Rentang waktu ini disebut waktu paruh dan setiap zat radioaktif memiliki waktu paruh yang berbeda-beda.

Jumlah peluruhan zat radioaktif ini akan sebanding dengan Jumlah zat awal dair radioaktif ini, dengan demikian pemodelan matematis untuk jumlah zatnya dapat dihitung dengan persamaan :
```
\frac{dN}{dt}=-λN
```
dimana :

N : Jumlah zat (gram atau mol)
λ : kontanta waktu paruh (gram/s atau mol/s)
t : rentang waktu (s)

solusinya adalah :
```
\int \frac{dN}{N}=-\int λdt
```
```
N = N_0e^{-λt}
```
B. Hukum Pendinginan Newton

Sebuah benda dengan suhu tinggi, diletakkan pada suatu ruangan yang suhu nya lebih rendah akan mengalami penurunan suhu sesuai dengan hukum Termodinamika. Jika suhu tersebut berkurang dengan spesifik dengan perbandingan suhu awalnya maka penurunan suhu ini dapat dihitung dengan Hukum Pendinginan Newton :
```
\frac{dT}{dt}=k(T-T_1)
```
Dimanan dT/dt menunjukkan perubahan suhu sebagai fungsi dari waktu. k adalah spesifikasi penurunan suhu. Jika k bernilai positif (+k) maka suhu benda mengalami peningkatan dan jika benilai negatif (-k) maka terjadi penurunan suhu.

Hukum Pendidinginan Newton ini berlaku pada ruangan yang memiliki sifat reservoir panas yang sangat besar sehingga suhu ruangan tidak bertambah. Dengan demikian T₁ bernilai konstan.

Solusi persamaan ini adalah :
```
\int \frac{dT}{T-T_1}=k\int dt
```
```
\ln|T-T_1|=kt+C
```
```
T-T_1=e^{kt+C}
```
```
T=T_1+C_1e^{kt}
```
besar nilai C₁ bisa diketahui dengan asumsi pendinginan terjadi t=0, sehingga e^k0 = 1 persamaan jadi

C₁ = T – T₁
6 Juni 2021
Solusi Persamaan Diferensial dalam Ilmu Sains
Ahmaddahlan.NET – Persaman Diferensial Biasa adalah sebuah persamaan yang berisi fungsi yang tidak diketahui secara eksplisit dan turunannnya. Bentuknya seperti pada Sistem Gerak pada Pegas yang ditulis dalam bentuk PDB :
```
m\frac{d^2x}{dt^2}+D\frac{dx}{dt}+kx=F
```
dimana m adalah massa beban gantung, D adalah koefisien redaman dan k adalah konstanta elastisitas pegas. Karena x adalah fungsi dari t maka persamaan ini dapat disederhanakan dalam bentuk :
```
mx"+Dx'+kx = F
```
Persaman ini berisi besaran x yang tidak diketahui rumus eksplisit, x’ adalah turunan pertama dan x” adalah turunan kedua. Karena memiliki Orde tertinggi turunan kedua, Persamaan ini disebut Persamaan Diferensial Biasa Orde II atau PDB Orde II.

Arti dari diferensial itu sendiri dalah perubahan sebuah varibale terhadap besaran lain. Misalkan kita umpakan pegas yang berada pada posisi x kemudian bergerak, maka posisi x akan berubah sesuai dengan perubahan dari t, dalam hal ini nilai x adalah fungsi dari t dan ditulis dengan notasi x_(t).

A. Kelompok Persamaan Diferensial

Persaman diferensial terbagi ke dalam dua jenis yakni suatu fungsi yang nilainya hanya berubah terhadap satu besaran yang disebut sebagai persamaan diferensial biasa atau PDB (Ordinary Differential Equation – ODE). Persaman kedua adalah persamaan diferensial parsial yang nilai dari besaran berubah terhadap dua variable atau lebih.

1. Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan difefernsial biasa hanya memiliki satu variabel perubah. Misalkan nilai y terhadap x. Contoh persamaannya adalah :
```
(i).\frac{dx}{dt}=x+t
```
```
(ii).y'=x^2+t^2
```
```
(iii). my"+cy'=-ky
```
Misalkan sebuah fungsi f disebut sebagai besaran yang nilainya tidak diketuhui dari x :

y = f(x)

solusi dari persamaan ini adalah

f'(x)=xf(x)

dimana x adalah rentang tertentu dari sebuah perubahan. Hasil dari turunan ini selanjutnay di tulis dengan notasi

y’=f(x)

Sebagai contoh kita mengetahui bahwa solusi dari persamaan umum

y’=Axⁿ

adalah :
```
y=\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C
```
dengan C adalah konstanta sembarang.

Model Pertumbuhan Populasi

Model pertumbuhan suatu populasi berdasarkan asumsi bahwa besar laju pertumbuhan populasi bergantung dari besar populasinya. Milsanya Populasi Bakteri (N) akan berkembang menjadi 2N dalam waktu 1 detik, jika populasi awalnya adalah 6N maka satu detik berikutnya akan menjadi 12N. Nilai ini selanjutnya disebut faktor yang bisa saja nilainya tetap (konstanta) dan biasa saja nilai juga ikut berubah.

Misalkan sebuah populasi bakteri N yang membelah diri dalam rentang waktu t sebanyak k. Populasi bakteri dalam rentang waktu tertentu jadi bisa diperhitungkan dengan persamaan diferensial biasa:
```
\frac{dN}{dt}=kN
```
Jumlah dari bakteri ini tidak lain
```
\int{\frac{dN}{N}}=k\int{dt}
```
solusinya adalah
```
\ln N = kt + c
```
Jumlah bakterinya dapat dihitung dengan persamaan berikut :
```
N = e^{kt+c}
```
2. Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah sebuah persamaan dimana nilai dari sebuah variable ditentukan oleh dua buah variabel lain. Turunan dari fungsi ijni dilakukan secara parsial dimana salah satu satau dikonstankan terlebih dahulu kemudian setelah variable sisanya.

Bentuk Persamaan Diferensial Parsial sebagai berikut :
```
(i). \frac{δ^2u}{δx^2}+\frac{δ^2u}{δy^2}=6xye^{x+y}
```
dalam kasus ini u adalah fungsi dari x dan y, atau u_xy. Bentuk lain :
```
(ii). \frac{δu}{δt}=3 sin (x+t)+\frac{δ^2u}{δx^2}+(1+x^2)+\frac{δ^2u}{δy^2}
```
dalam kasus ini u adalah fungsi dari x,y dan t atau u_xyt.
11 Mei 2021
Analisis Gerak Pegas dengan PDB Orde II – Gerak Harmonis dan Teredam
Ahmaddahlan.NET – Gerak pada pegas merupakan salah satu gerak yang dapat dianalisis melalui persamaan diferensial biasa orde II (PDB Orde II). Gerak ini mengikuti hukum Newton tentang gerak. Asumsinya ada dua yakni jika terjadi secara harmonis dan tidak harmonis.

Gerak Harmonis Pegas diterapkan dengan asumsi tidak ada gaya luar yang bekerja pada pegas sehingga ketika egas diberi ganguan / simpangan, pegas akan terus berayun selaman dengan periode tetap. Asumsi ke dua jika ada gaya eksternal yang bekerja pada pegas yang nilainya kecil, maka pegas akan akan berhenti pada satu waktu tersebut. Gerak pegas ini disebut Teredam lembut atau Dumped Oscillation.

Pada sebuah pegas yang digantung beban akan terdapat empat kemungkinan gaya masing adalah :
1. Gaya berat w = mg
2. Gaya pemulih F_k = -k (y+Δy)
3. Gaya Peredam pada pegas F_D = -Dv_y
4. Gaya Eksternal F_e
Misalkan pegas diberi ganguan sehingga pegas mulai bergerak maka berlaku hukum Newton II tentang gerak
```
ΣF = ma
```
Persamaan ini kemudian di subtitusi dengan semua gaya yang bekerja pada pegas sehingga menjadi
```
W_b+F_k+F_D+Fe = ma
```
```
mg - ky - kΔy -Dv_y + F_e = ma
```
Karena mg = -ky dan v_y adalah turunan pertama perubahan posisi terhadap waktu dy/dt maka persamaan ini dapat dituls lebih sederhana.
```
-kΔy -D\frac{dy}{dt}+ F_e = m\frac{d^2y}{dt^2}
```
Jika Δy adalah besara simpangan maka bisa dianggap sebagai y, dengan demikian Bentuk umum persamaan diferensial biasa Orde II untuk Gerak harmonik pada pegas adalah :
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =F_e
```
A. Analisis Matematis Gerak Harmonis Pegas

Pada gerak pegas yang berosilasi harmonik sederhana ada dua asumsi yang dimasukkan yang tidak ada gaya peredam dan gaya eksternal yang bekerja sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +ky =0
```
bagi kedua ruas dengan m
```
\frac{d^2y}{dt^2} +\frac{k}{m}y =0
```
Pada saat pegas berada pada percepatan maksimum nilai k/m = ω², sehingga
```
\frac{d^2}{dt^2} y+ω^2y =0
```
```
(\frac{d^2}{dt^2} +ω^2)y =0
```
Misalkan :
```
\frac{d^2}{dt^2} = r^2
```
maka bisa disimpulkan
```
r^2 + ω^2 = 0
```
Persamaan ini r²+ω²=0 memiliki akar-akar yang homogen seperti pada Solusi Umum PBD Orde II yakni r_1,2 = ±iω₀ dengan solusi :
```
y_{(t)}=c_1 \cosω_0t+c_2\sinω_0t
```
Untuk menentukan nilai konstanra c₁ dan c₂, kita lakukan sedikit trik dengan mengalikan ke dua ruas dengan :
```
\frac{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}=1
```
Sehingga persamaan dapat ditulis dengan :
```
y_{(t)}=\sqrt{c_1^2+c_2^2}(\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} \cosω_0t+\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\sinω_0t)
```
Misalkan R²=C₁²+C₂², diambil dari sebuah segitiga siku-siku, maka
```
\cosθ=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} 
```
dan
```
\sin θ= \frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}
```
Sehingga solusi y_(t) dapat ditulis :
```
y_{(t)}=R (\sinθ\cos ω_0t+\cosθ\sin ω_0t)
```
Bisa disederhanakan dengan indetintas Trigonometri yakni
```
y_{(t)}=R \cos (ω_0t±θ)
```
Dimana
y_(t)= simpangan gelombang
R = Amplitudo
θ = bilangan gelombang
ω₀ = frekuensi sudut dimana ω₀²=k/m

B. Analisis Matematis Gerak Pegas Teredam Lembut

Pada kasus dunia nyata misalnya sebauh pegas yang dipasang pada sebuah motor. Pegas akan mendapatkan gaya peredam dari pegas agar getaran berhenti.
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =F_e
```
Pada kasus Pegas teredam Lembut maka F_e adalah nol, sehingga peredam hanya berasal dari gaya peredam pegas.
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =0
```
Kita gunakan pemisalan r = d/dt, sehingga persamaan ini dapat ditulis
```
(m.r^2+D.r+k)y=0
```
dengan demikian :
```
m.r^2+D.r+k=0
```
Pada kasus terdeam lembut Diskiriman berlaku D² – 4mk < 0 sehingga akar-akar dapat dinyatakan dalam bilangan real dengan bentuk :
```
r_{1,2}=\frac{-b±i\sqrt{4mk-D^2}}{2m}=\frac{-b}{2m}±\frac{i\sqrt{4mk-D^2}}{2m}
```
suku pertama adalah α dan β. Bentuk solusi dari dari persamaan ini adalah :
```
y_{(t)}=c_1e^{α +iβt}+c_2e^{α -iβt}
```
masukkan nilai α dan β, sehingga solusinya gerak terdemannya menjadi
```
y_{(t)}=Re^{\frac{-d}{2m}t}\cosβt-θ
```
Dimana R adalah Simpangan maksimum awal atau y₀

Bentuk Getarannya seperti berikut :
9 Mei 2021
Solusi dan Bentuk Umum Dari PDB Orde 2 – Homogen
Ahmaddahlan.NET – Persamaan diferensial orde n melibatkan sebuah variable yang bergantung pada nilai variable lain dengan orde turunan ke-n. Misalkan sebuah persamaan x yang berubah terhadap y. Persamaan ini memiliki dua bentuk yang PDB Orde II Homogen dan Tak Homogen.
```
y"+P_{(x)}y'+Q_{(x)}y=R_{(x)}
```
Bentuk Umum PDB Orde II Homogen

Jika sebuah persamaan memiliki nilai R_(x)=0, maka Persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Homogen dengan bentuk :

y” + ay’ + by = 0

atau :

(D²+aD¹+b)y = 0

dimana a dan y ≠ 0, misalkan Dy = ry dimana solusi sederhana dari ry = Ae^rx, maka:

D²y = D(Dy) = D(ry) = r (Dy) = r(ry) = r²y

sehingga persamaan (D²+aD¹+b)y = 0 bisa ditulis (r² + ar + b) y = 0, dengan demikian

r² + ar¹ + b = 0

Fungsi r² + ar + b ini adalah fungsi polinom dengan karakteristik diskriminan

∆ = a² + 4b

Nilai diskriminan ini terdapat 3 kemungkinan yakni ∆ > 0, ∆ = 0, dan ∆ < 0.

a. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ > 0

Pada persamaan r² + ar¹ + b = 0 dengan r₁ ≠ r₂ dimana ∆ > 0 berasal dari nilai a > 0 dan a² > 4b, maka solusi adalah

u₁ = e^r1x dan u₂ = e^r2x

Dengan demikian solusi umumnya sebagai berikut

y = c₁e^r₁x + c₂e^r₂x

b. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ = 0

Untuk nilai diskriminan ∆ = 0, maka nilai a² = 4b sehingga :
```
 r^2 + ar^1 + b = r^2+ar^1+\frac{a^2}{4}=0
```
```
(r+\frac{a}{2})^2 = 0
```
suku diatas memiliki akar-akar persamaan :
```
r=-\frac{a}{2} (akar ganda)
```
Nilau suku ux terbagi dalam dua kemungkinan yakni :

u_x = λu_x = e^rx

sedangkan u_x ≠ λu_x, misalkan :

v_(x) = xu_(x) = xe^rx

maka turunan v terhadap x adalah turunan parsial Dv = u.dv + v.du

Dv=e^rx +rxe^rx=(1+rx)e^rx

D²v = D e^rx(1+rx) = re^rx(1+rx) + re^rx

(r²x+2r ) e^rx

Subtitusikan ke persamaan (D² + aD + b ) v, hasilnya

((r²x+2r ) e^rx) + a (1 + rx) e^rx+ b ) xe^rx

Satukan suku-suku yang sama

(r²x + ar + b) x + (a + 2r) e^rx = 0

maka

(r²x + ar + b) x = 0 dan (a + 2r) e^rx = 0

Jadi v_(x) = xe^rx adalah solusi dari u_(x) dan v_(x) bebas dan linier, solusi umumnya adalah :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

c. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ < 0

Untuk ∆ = a² – 4b < 0, maka akar-akar persamaan akan menghasilkan bilangan kompleks yang saling konjugat :
```
r_{1,2}=\frac{-a ± \sqrt{a^2-4b}}{2}
```
karena nilai a² – 4b < 0 maka akar-karnya irsaional sehingga
```
r_{1,2}=\frac{-a}{2}+i \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
dimana i² = -1

masalkan :
```
α = \frac{-a}{2}
```
dan
```
β =\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
nilai dari r₁ = α + iβ dan r₂ = α – iβ. akar-akar persamaan adalah :
```
\overline{y}_1=e^{r_1x}=e^{α+iβ}=e^{αx}(\cosβ+i \sin β)
```
dan
```
\overline{y}_2=e^{r_2x}=e^{α-iβ}=e^{αx}(cosβ-i \sin β)
```
Persamaan tersebut bisa disederhanakan dengan menggunakan identitas Trigonometri
```
y_1(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 + \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\cosβ
```
dan
```
y_2(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 - \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\sinβ
```
sehingga solusi umunya adalah :

y(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) = e^ax(cos β + sin β)

Kesimpulan

1. Untuk r₁ ≠ r₂ maka y₁ = e^r1x dan y₂ = e^r2x dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^r1x+ c₂e^r2x

2. Untuk r₁ = r₂ maka y₁ = e^rx dan y₂ = xe^rx dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

3.Untuk r₁ = u + wi dan r₂= u – wi atau disebut akar kompleks konjugat maka y₁ = e^ux cos wx dan y₂ = e^ux sin wx solusinya adalah :

y = e^ux ( c₁ cos wx + c₂ sin wx)
7 Mei 2021
Belajar Matlab – Solusi Persamaan Diferensial Biasa Numerik dengan Metode Heun
AhmadDahlan.NET – Metode Heun adalah analisi Numerik yang digunakan menghitung luas sebuah daerah yang dibatasi oleh sebuah garis dari fungsi y dengan menggunakan pendekatan Perkiraan Gradian dari Garis yang ada. Metode ini adalah modifikasi Analisi Numerik PDB dengan metode Euler.

Pada Metode Euler, Perhitungan dibatasi dengan penggunaan garis tangen dari potongan-potongan garis yang dibentuk olhe sebuah fungsi. Asumsinya semakin kecil inteval yang dibentuk maka semakin kecul pula kesalahan yang dihasilkan.

Hanya saja Prediksi dari Euler masih terdapat kekurangan, misalnya pada garis lengkung ke bawah (cekung) persaman garis tebakan akan berada di daerah atas, begitu pula sebaliknya seperti ilutrasi berikut :

Pada Metode Heun Dilakukan Pendekatan yang lebih presisi dalam mengikuti kelengkungan dari Fungsi S yakni menebak gradien antara gardien yang lewat di atas curva dan di bawah curva seperti gambar di bawah ini

Langkah Penyelesaian Metode Heun Sebagai Berikut :

1. Tentukan nilai fungsi menggunakan nilai awal x₀ dan y₀ :
```
y' = f(x_1,y_1)
```
2. Tentukan nilai y_1+i. Persamaan ini disebut sebagai persamaan Prediktor
```
y_{1+i}=y_i+y'h
```
3. Tentukan nilai y_1+i‘
```
y_{1+i}' =
```
4. Tentukan nilai rata-rata y
```
\overline{y}= \frac{y_1+y_{1+i}'}{2} 
```
5. Tentukan nilai Hampiran akhir
```
y_{1+i}=y_i+\overline{y}*h
```
Persamaan ini disebut sebagai persaman Corrector.

A. Studi Kasus

Misalkan sebuah Persamaan Diferensial Biasa orde I
```
y' =4e^{0.8x}-5y 
```
dengan batas bawah x = 0 dan batas x = 4 dengan langkah h = 1 dan kondisi awal y₍₀₎ = 2. Tentukan solusi numerik dari PDB Orde I tersebut dengan metode Heun!

Solusi Metode analitik dari Persaman di atas adalah :
```
y_{(x)} =\frac{4}{1,3}(e^{0,8x}-e^{-0,5x})+2e^{-0,5x}
```
Solusi Numerik dengan Metode Heun

1. Tentukan fungsi pada x = 0 dan x = 2
```
y'= 4e^0-0,5(2) = 3
```
2. Menentukan estimasi y pad x = 1 dengan dengan persamaan prediktor
```
y_1=2+3(1) = 5
```
3. Memperbaiki Nilai Estimasi y_1+i digunakan y₁ untuk memprediksi slope pada akhir interval
```
y_1'=4e^{0.8(1)}-0,5(5)=6.402164
```
4. Menggabungkan Slope awal dan slope akhir untuk menghasilkan slope rata-rata dari interval x=0 sampai x=1
```
\overline{y}=\frac{3+6.402164}{2}=4.701082
```
5. Solusi (4) disubstitusi ke persamaan korektor untuk memberikan nilai prediksi pada x=1
```
y_1 = 2+ 4.701082(1) = 6.701082
```
6. Substitusi balik hasil (5) ke persamaan ruas kanan korektor untuk memperbaiki prediksi y₁
```
y_1=2+\frac{3+4e^{0,8(1)}-0,5(6,701082)}{2}(1)=6.275811
```
7. Lakukan langkah (6) sebanyak iterasi yang dinginkan
```
y_1=2+\frac{3+4e^{0,8(1)}-0,5(6.275811)}{2}(1)=6.382129
```
B. Script Matlab
```
y0=2;
h=1;
mx(1)=0;
my(1)=2;
%solusi Numerik
for ii=1:4
  f1=(4*exp(0.8*x))-(0.5*y0);
  y=y0+(f1*h)
  x=x+1
  f2=(4*exp(0.8*x))-(0,5*y);
  m=(f1+f2)/2;
  y=y0+m;
    for jj=1:16;
    y1=y;
    y=y0+((f1+(4*exp(0.8*x))-(0,5*y1))*h/2);
    y1=y;
    end
  mx(ii+1)=ii;
  my(ii+1)=y;
  y0=y
end
%solusi Analitik
y_analitik = ((4/1.3*(exp(0,8*mx)-exp(-0,5*mx)))+2*exp(-0.5*mx);
plot(mx,my,'r',mx,y_analitik,'b'b);
```
6 Mei 2021
Belajar Matlab – Diferensial Numerik dengan Metode Euler
Ahmaddahlan.NET – Metode Euler adalah solusi numerik untuk persamaan Diferensial biasa orde I. Persamaan dari Deret Taylor adalah :
```
y(t_i+1)=y(t_i)+(t_{i+1}-t_i)y'(t_i)+\frac{(t_{i+1}-t_i)^2}{2}y"(ξ_i)
```
jika :
```
h = (t_{i+1}-t_i)
```
maka persamaan di atas dapat ditulis :
```
y(t_i+1)=y(t_i)+hy'(t_i)+\frac{h^2}{2}y"(ξ_i)
```
Asumsi yang diterapkan pada Metode Eular adalah suku terakhir adalah turunan ke dua yang dapat diabaikan sehingga :
```
y_{i+1}=y_i+y'h
```
dimana y’ = f(x_i,y_i)

Nilai turunan dari y dengan metode Eular didapatkan dari mengekstrapolasi garis linier diinterval h, sehingga semakin banyak interval nilai h maka semakin besar error yang didapatkan.

A. Studi Kasus

Misalkan sebuah persamaaan diferensial orde I seperti berikut :
```
\frac{dy}{dx}=-2x^3+12x^2-20x +8,5
```
dimana x = 0 sampai x = 4 dengan lebar langkah 0.5 dengan syarat awal y₍₀₎ = 1.

Langkah 1. Hitung terlebih dahulu solusi analitik dari persamaan tersebut !

Langkah 2. Tentukan f(x) = -2x³+12x³-20x+8.5, kemudian subtitusi nilai x ke dalam persamaan tersebut!

Langkah 3. Hitung nilai y menggunakan persamaan : y_i+1=y_i+y’h

y

x y’ y
0 8,5 1
0,5 … …
1 … …
… … …
4 … …

Langkah 5. Buat Algoritma dengan Metode tersebut di Matlab.

Contoh Algortima dan Scriptnya di Matlab!
```
clear all
clc
format long

b = 4; % batas atas
a = 0; % batas bawah
h = 0.5; % semakin nilai semakin detail hasil yang ditunjukkan
N = (b-a)/h;
y0 = 1; % nilai y awal
x0 = 0; % nilai x awal

% inisialisasi array x dan y
x = zeros(1, N+1);
y = zeros(1, N+1);
w = zeros(1, N+1);

%perubahan t per step
for i = 1:N+1
    x(i) = a + (i-1)*h;
end

%solusi y menggunakan metode Euler
y(1) = y0;
for i = 2:N+1
    y(i) = y(i-1) + h*(-2*x(i-1)^3 + 12*x(i-1)^2 - 20*x(i-1) + 8.5);
end

%solusi analitik
for i = 1:N+1
    w(i) = -0.5*x(i)^4 + 4*x(i)^3 - 10*x(i)^2 + 8.5*x(i) + 1;
end

% Plot hasil
plot(x, y, 'b', x, w, 'r');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Numerik', 'Analitik');
title('Perbandingan Solusi Numerik dan Analitik');
```
Silahkan Run Script tersebut, disana akan terlihat perbedaan solusi antara Metode Euler dan Metode Analitik.

Tugas Latihan !

Gambarlah Grafik antara hasil Analitik dan Metode Euler untuk persamaan diberensial biasa berikut :
```
f(x,y)=\frac{y}{2x+1}
```
26 April 2021
Belajar Matlab – Solusi Integral Metode Simpson
AhmadDahlan.NET – Metode Simpson adalah metode integral numerik yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh persamaan garis f(x). Pendekatan yang dilakukan lebih detail dari Pendekatan Trapezoid dimana Daerah di bagi ke dalam dua bangun trapesium.

Solusi Integral Metode Simpson

Gambar pada sisi kiri menunjukkan metode integral analitik untuk menghitung luas wilayah yang dibatasi oleh garis f(x) yang mulai dari a sampai b. Pada gambar pada sisi kanan adalah metode Simpson yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang diarsis menggunakan metode numerik Simpson.

Metode ini Simpson sama dengan metode Trapezoida namun luas wilayah di bagi ke dalam dua trapseium sehingga hasil perhitungan jauh lebih teliti dibandingkan dengan metode Simpson. Lebar trapesium di bagi menjadi dua bagian dengan lebar h.

Metode Simpson dibagi ke dalam dua kelompok yakni :
1. Metode simpson 1/3
2. Metode simson 3/8
A. Metode simpson 1/3

Metode ini mengaproksimasi integral dengan menggunakan polinomial kuadrat. Rumus integral Simpson 1/3 untuk fungsi f(x) pada interval [a,b] adalah sebagai berikut:
```
\int^b_a f(x).dx≈\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]
```
Untuk membagi ke lebih banyak sub-interval dapat digunakan:
```
\int^b_a f(x).dx≈\frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\Sigma^{n-1}_{i=1,3,5, ...}f(x_i)+2\Sigma^{n-2}_{i=2,4,6, ...}f(x_i)+f(x_n)\right]
```
Di mana:
- n adalah jumlah sub-interval (harus genap),
- h=(b−a)/n
- xi=a+ih
Contoh Implementasi dengan Matlab
```
function integral = simpson_1_3(f, a, b, n)
    if mod(n, 2) == 1
        error('n harus genap');
    end
    
    h = (b - a) / n;
    x = a:h:b;
    fx = arrayfun(f, x);
    
    result = fx(1) + fx(end);
    result = result + 4 * sum(fx(2:2:n));
    result = result + 2 * sum(fx(3:2:n-1));
    
    integral = result * h / 3;
end

% Contoh penggunaan
f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
n = 100;  % harus genap

integral = simpson_1_3(f, a, b, n);
fprintf('Nilai integralnya adalah: %.6f\n', integral);
```
B. Metode Simpson 3/8

Metode ini mengaproksimasi integral dengan menggunakan polinomial kubik. Rumus integral Simpson 3/8 untuk fungsi f(x) pada interval [a,b] adalah sebagai berikut:
```
\int^b_af(x).dx≈\frac{3h}{8}\left[ f(a)+3f(a)\left(a+\frac{h}{3}\right) +3f(a)\left(a+\frac{2h}{3}\right)+f(b)\right]
```
Untuk lebih banyak sub-interval, rumus umum Simpson 3/8 adalah:
```
\int^b_af(x).dx≈\frac{3h}{8}\left[ f(x_0)+3\Sigma^{n-1}_{i=1,2,4,5 ...}f(x_i)+2\Sigma^{n-3}_{i=3,6,9, ...}f(x_i)+f(x_n)\right]
```
dimana n kelipatan bilangan 3.

Contoh Implementasi dengan Matlab
```
function integral = simpson_3_8(f, a, b, n)
    if mod(n, 3) ~= 0
        error('n harus kelipatan 3');
    end
    
    h = (b - a) / n;
    x = a:h:b;
    fx = arrayfun(f, x);
    
    result = fx(1) + fx(end);
    result = result + 3 * sum(fx(2:3:n));
    result = result + 3 * sum(fx(3:3:n));
    result = result + 2 * sum(fx(4:3:n-3));
    
    integral = result * 3 * h / 8;
end

% Contoh penggunaan
f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
n = 99;  % harus kelipatan 3

integral = simpson_3_8(f, a, b, n);
fprintf('Nilai integralnya adalah: %.6f\n', integral);
```
E. Tugas

Buatlah sebuah solusi integral numerik metode trapzoida untuk fungsi berikut
```
∫_𝑎^𝑏(3𝑥3−5)𝑑𝑥
```
dan
```
∫^b_a(cos⁡𝑥+2)𝑑𝑥
```
keterangan
1. ganti nilai b dengan tanggal lahir anda masing-masing dan nilai a dengan bulan lahir.
2. Kerjakan masing-masing soal dengan metode 1/3 dan 3/8.
20 April 2021
Belajar Matlab -Penyelesaian Integral dengan Metode Trapezoida
AhmadDahlan.NET – Penyelesaian Integral dengan Metode Trapezoida dilakukan dengan persamaan berikut :
```
\int^b_af(x)dx=\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)]-\frac{h^3}{12}f''(ξ)
```
dimana x₀=a dan x₁=b dan h = b – a. Pada umumnya turunan suku ke-2 f”, biasanya dapat diabaikan sehingga persamaan ini dapat disederhanakan menjadi :
```
\int^b_af(x)dx=\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)]
```
Pendekatan Trapezoida hanya bisa digunakan untuk persamaan yang turunan keduannya nol. Grafik dari pendekatan Trapezoida seperti berikut ini :

Grafik pada bagian kiri adalah grafik yang menunjukkan persamaan f(x). Metode Trapezodia digunakan untuk menghitung luas daerah yang menyerupai bentuk trapesium di bawah garid f(x) dengan batas dari a sampai b.

Perhatikan daerah antara garis f(x) dengan garis lurus antara f(x₁) dan f(x₀). Metode trapezodia tidak mempu menghitung luad daerah tersebut sehingga jika nilainya terlalu besar, Metode ini tidak menunjukkan hasil yang teliti.

A. Studi Kasus Solusi Integral

Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = x² dengan batas atas b = 6 dan a = 2. Bandingkan hasil keduanya dengan metode Trapezodia dengan Metode Analitik!

a. Metode Trapezodia

Nilai h = b – a = 6 – 2 = 4

f(a) = a² = 4
f(b) = b² = 36

Integral Metode Trapezodia
```
\int^6_2x^2dx=\frac{4}{2}[36+4]=80
```
b. Metode Analitik
```
\int^6_2x^2dx= \frac{1}{3}x^3|^6_2 = \frac{1}{3}(216-8) = 69,33
```
Latihan

Bandinkan hasil Metode Trapezodia dengan Metode Analitik untuk f(x) = x¹ dan f(x) = x³!

B. Membuat Script Metode Trapezodia

Membuat script di Matlab
```
clear all 
clc

a = ...
b = ...

x0=a;
x1=b;
h = b-a;

Int_trapez = (h/2)*(f(x0)+f(x1))
```
Fungsi external
```
function y = f(x)
y = ... 
```
Tugas !

Tuliskan script Metode Trapezodia dengan Matlab untuk menyelesaikan persamaan :
```
f(x)=\sqrt{1-x}
```
Bandingkan hasilnya dengan metode analitik, jika batas awal a = 1 dan batas akhir b = 3!
19 April 2021
Belajar Matlab – Penyelesaian Turunan dengan Perintah syms
AhmadDahlan.NET – Misalkan ada sebuah fungsi x dengan bentuk y = axⁿ. jika a dan n adalah sebuah konstanta maka turunan y terhadap x didapatkan sebagai berikut :
```
\frac{dy}{dx} =n(a)x^{n-1}
```
Contoh : Sebuah persamaan posisi sebuah partikel y_t = 3t²-5t, tentukan persamaan kecepatan dari partikel tersebut!
```
v_t = y' = \frac{dy}{dt}= 2(3)t^{2-1}-1(5)t^{1-1}
```
```
v_t=6t-5
```
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan dengan fungsi Matlab.
- Turunan di Matlab dapat dilakukan dengan perintah syms. jadi misalkan persamaan y_t = 3t²-5t ingin diturunkan terhadap variabel t maka perintah syms t.
- Perintah diff yang digunakan untuk turunan fungsi yang bersifat numerik.
contoh perintahnya di Matlab dapat dilakukan dengan script
```
syms x

yt=3*t^2-5*t
vt = diff(yt);
```
Contoh Latihan di Matlab

Sebuah partikel bergerak dengan persamaan posisi y = 5t³ – 2t² + 7. Tentukan
1. persamaan kecepatan partikel !
2. kecepatan benda pada saat t = 5
19 April 2021