Fismat – Koordinat Polar

AhmadDahlan.NET – Koordinat Polar adalah sebuah sistem referensi yang dinyatakan dalam arah r dan θ (r,θ). Arah r adalah besar yang menentukan radius dari titik referensi O dan θ adalah yang menentukan sudut putar dari koordinat yang terbentuk.

Pada koordinat Polar, disepakati secara umum jika arah θ yang berlawanan dengan jarum jam bernilai positif. Elemen vektor r

R_{(r,\theta)}=dr \ \hat r  \ + r d\theta \ \hat\theta

A. Luasan dalam Koordinat Polar

Misalkan sebuah vektor arah r sebesar dr, diputar ke arah θ sebesar r.dθ, maka vektor ini akan menyapu daerah dengan luasan seperti pada gambar

luasan ini dinyatakan dalam bentuk :

\int dA = \int^\theta_0 \int^{r}_0(dr)(r.d\theta)

maka luasan A adalah :

A= \frac{1}{2}r^2\theta

Nilai θ adalah besar sudut juring terbentuk. Pada sudut dengan 1 lingkaran penuh atau 360^o, maka nilai θ = 2π. Jika nilai r₁ adalah jari-jari lingkaran itu sendiri makamasukkan nilai ini ke dalam persamaan diatas :

A= \frac{1}{2}r^2 (2\pi)

Luas lingkaran penuh adalah :

A = \pi r^2

B. Hubungan antara Koordinat Polar dan Kartesian

Misalkan kita memiliki vektor A dalam koordinat polar (r,θ) dari titik origin O. Vektor ini bisa juga dinyatakan dalam sumbu kartesian (x,y) jika ke dua koordinat dihimptkan satu sama lain.

Hubungan x, y, r, dan θ.

r_x = r  \cos \theta \ \hat x

r_y = r  \sin \theta \ \hat y

dengan demikian r = r_x+r_y, maka

r =  r  \cos \theta \ \hat x \ +  r  \sin \theta \ \hat y

besar r terhadap x dan y dapat dihubungankan dengan Teorema Phytagoras

r^2 = r_x^2+r_y^2

r =  r^2  \cos ^2\theta \ +  r^2  \sin^2 \theta 

r ini memiliki arah θ

\tan θ = \frac{r_y}{r_x}

\theta = arc \tan \frac{r_y}{r_x}