Tag: Fismat

Turunan Persamaan Relativistik Einstein – E=mcc
Salah satu persamaan sederhana yang memiliki banyak konsekuensi di fisika terutama dunia quantum diperkenalkan oleh Ablert Ainstein yakni E=mc². Persamaan ini memberikan banyak konsekuensi yang bertentangan dengan pandangan fisika klasik, salah satunya batas kecepatan benda bergerak di muka bumi adalah kecepatan cahaya (c) atau disebut persamaan Relativistik Einstein.

Turunan Persamaan Relativistik

Mari kita mulai persamaan ini melalui konsep usaha dan energi yakni:
```
dE = F.dx \ \ \ \  ... (1)
```
dimana laju perubahan energi (dE) yang dialami oleh benda berasal dari jumlah gaya (F) yang diberikan sejauh dx. Hukum Newton II menyatakan bahwa F sendiri adalah perubahan momentum (dP) terhadap (dt), dengan demikian persamaan ini bisa ditulis:
```
dE = \frac{dp}{dt}dx
```
dimana dx/dt adalah kecepatan sehingga
```
dE= v.dp \ \ \ \  ... (2)
```
Pada fisika klasik, massa dari sebuah benda akan tetap konstan, namun pada gerak dengan kecepatan mendekatai cahaya, massa benda bergantung dari kecepatannya. Massa ini disebut massa relatif. Besar massa relative adalah:
```
 m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \ \ \ \  ... (3)
```
dimana m₀ adalah massa diam benda. Sekarang asumsikan jika massa benda ikut berubah sebagai fungsi dari kecepatan, maka perubahan momentum benda bergerak ini dipengaruhi oleh dua variable yakni m dan v, sehingga nilai momemntum turunas parsial dari massa dan kecepatan.
```
dp = mdv+vdm
```
dengan demikian nilai dE adalah:
```
dE=v.dp 
```
```
dE = mv.dv+v^2dm \ \ \ \  ... (4)
```
Turunkan persamaan (3) terhadap kecepatan
```
\frac{dm}{dv}= \frac{d\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}{dv}=m_0\frac{d(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}}{dv}
```
Gunakan aturan rantai sehingga hasilnya
```
\frac{dm}{dv}=m_0(-\frac{1}{2}(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}}).(-\frac{2v}{c^2})
```
atau bisa ditulis :
```
\frac{dm}{dv}=m_0(\frac{v}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}} \ \ \ \  ... (5)
```
ruas paling kanan Persamaan 5 ini bisa dipisahkan dan ditulis dalam bentuk:
```
\frac{dm}{dv}=m_0(\frac{v}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1}.(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}
```
perhatikan unsur (1-v²\c²)^-1/2 dan hubungannya dengan m₀ di persamaan tiga yakni:
```
m(1-\frac{v^2}{c^2})^{\frac{1}{2}} = m_0
```
Sehingga persamaan 5 bisa dituiskan sederhana:
```
\frac{dm}{dv}=m(1-\frac{v^2}{c^2})^{\frac{1}{2}}(\frac{v}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1}.(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}
```
```
\frac{dm}{dv}=(\frac{mv}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1}
```
dimana:
```
\frac{dm}{dv}=(\frac{mv}{c^2})(\frac{c^2-v^2}{c^2})^{-1} =(\frac{mv}{c^2})(\frac{c^2}{c^2-v^2})
```
persamaan 5 bisa ditulis lebih sederhana dalam bentuk
```
\frac{dm}{dv}=\frac{mv}{c^2-v^2}
```
gabungkan sisi dengan variable yang sama, sehingga persamaan ini berubah menjadi
```
c^2dm-v^2dm=mvdv  \ \ \ \  ... (6)
```
masukkan persamaan (6) ke persamaan (4)
```
dE=c^2dm-v^2dm + v^2dm
```
integralkan kedua sisi sehingga
```
\int^{E}_{E_0} dE =c^2\int^m_{m_0} dm 
```
```
E-E_0=c^2(m-m_0)
```
atau
```
E-E_0=mc^2-m_0c^2
```
Persamaan E₀=m₀C² bermakna total energi dari materi diam bermassa m dan E=mc² adalah energi total benda berdasarkan massa relatifnya.
June 20, 2022
Turunan Persamaan Newton tentang Gerak
Materi gerak lurus berubah beraturan dalam tinjauan kinematika, gerak ditinjau tanpa memperhatikan gaya yang membuatnya bergerak, terdapat tiga rumus tentang gerak. Rumus tersebut diturunkan dari persamaan Newton tentang gerak dengan penurunan sebagai berikut:
```
v_t=v_o+at
```
```
s_t=v_ot+\frac{1}{2}at^2
```
```
v_t^2=v_0^2+2as
```
dimana v₀ adalah kecepatan awal, v_t adalah kecepatan sesaat pada saat t, t adalah waktu, a percepatan dan s adalah jarak.

A. Turunan Persamaan Pertama

Kita mulai dari defenisi dari percepatan konstan yang tidak lain adalah perubahan kecepatan terhadap waktu yang secara matematis dituliskan sebagai berikut:
```
a = \frac{dv}{dt}
```
karena v adalah fungsi dari waktu maka persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:
```
a.dt = dv_{(t)}
```
solusi dari persamaan adalah integralkan ke dua sisi
```
a \int dt = \int dv_{(t)}
```
karena integral ini tanpa batas maka akan menghasilkan nilai constan dengan persamaan seperti berikut :
```
at=v_{(t)}+c
```
c adalah nilai kontant dengan yang dapat diketahui dengan mengganti nilai t=0, dengan demikian persamaan ditulis
```
a_{(0)}=v_{(0)}+ c
```
```
c =-v_{(0)}
```
dimana v₍₀₎ ini tidak lain adalah kecepatan awal dari gerak. dengan demikian persamaan ini dapat dituliskan
```
v_{(t)}=v_{(0)}+at
```
Secara matematis persamaan ini menujukkan hubungan antara nilai v_(t) yang berubah terhadap t. Jika digambarkan dalam bentuk kartesian bentuknya sebagai berikut:

B. Turunan Persamaan Kedua

Pada persamaan kita ke dua, kita sudah memiliki persamaan pada hukum pertama yakni v_(t)=v₍₀₎+at, dimana v_(t) sendiri adalah turunan pertama dari perubahan posisi (s) terhadap waktu (t)
```
v_{(t)} = \frac{ds_{(t)}}{dt} 
```
maka persamaan Pertama dapat ditulis ulang menjadi :
```
\frac{ds_{(t)}}{dt}  = v_{(0)}+at
```
kalikan ke dua rua dengan dt lalu integralkan, maka hasilnya
```
\int ds_{(t)} = v_{(0)}\int dt+a\int t.dt
```
solusinya adalah
```
s_{(t)}= v_{(0)}t+\frac{1}{2}at^2+c
```
ketika t=0 dan s=0, maka akan didapatkan nilai c = 0, dengan demikin persamaan :
```
s_{(t)}= v_{(0)}t+\frac{1}{2}at^2
```
Hubungan antara s_(t) terhadap t dapat ditunjukkan dengan grafik :

C. Persamaan Ketiga

Pada penuruan persamaan ketiga kita dapat membuat sedikit trik matematis yakni dengan asumsi bahwa a adalah turunan pertama dari perubahan kecepatan terhadap waktu:
```
a=\frac{dv}{dt}
```
ruas kanan dikalikan dengan 1 dari ds/ds
```
a=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}
```
dimana ds/dt tidak lain adalah v, maka persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi
```
a=\frac{dv}{ds}v
```
```
a\int ds=\int vdv
```
```
as +c=\frac{1}{2}v^2
```
perhatikan nilai konstanta ditempatkan di sisi kiri karena sejatinya nilai v dipengaruhi oleh v bukan sebaliknya. jika nilai s dimasukkan sama 0, maka
```
a(0)+c=\frac{1}{2}v_{(0)}^2
```
atau
```
c=\frac{1}{2}v_{(0)}^2
```
dalam kasus ini nilai v bukanlah fungsi dari waktu tapi fungsi dari jarak sehingga persamaan pada hukum ketiga harusnya dituliskan sebgai berikut :
```
\frac{1}{2}v_{(s)}^2=\frac{1}{2}v_{(0)}^2+as
```
kalikan kedua ruas dengan 2, sehingga persamaannya lebih sederhana menjadi
```
v_{(s)}^2=v_{(0)}^2+2as
```
Turunan ini tidak sesuai dengan persamaan ketiga yang dituliskan di awal yakni :
```
v_t^2=v_0^2+2as
```
persamaan v_t²=v₀²+2as memang terlihat lebih rancu dimana ruas kiri dari persamaan menunjukkan v sebagai fungsi dari t, padahal di sisi kanan tidak ada unsur t. Dengan demikian persamaan ini menunjukkan kecepatan gerak benda terhadap posisi yang semakin jauh akan semakin cepat. Hal ini membuat persamaan ini tidak tepat digambarkan dengan grafik v terhadap t. Harusnya digambarkan melalui grafik v terhadap s.
June 20, 2022
Teorema Matimatika di Persamaan Keadaan Termodinamika
AhmadDahlan.NET – Beberapa keadaaan pada termodinamika dikaji melalui bantuan pemodelan matematis. Tujuannya untuk memudahkan proses separasi peran dari masing-masing variabel bebas. terhadap nilai dari variable terikat.

A. Teorema Matematis

Misalkan saja pada objek termodinamis terdiri dari tiga koordinat yang saling berhubungan x, y dan z, maka hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk :
```
f_{(x,y,z)}= 0
```
dimana

x adalah fungsi dari y dan z, maka :
```
dx=\left ( \frac{δx}{δy} \right )_z dy+\left (\frac{δx}{δz}  \right )_y dz
```
y adalah fungsi dari x dan z, maka :
```
dy=\left ( \frac{δy}{δx} \right )_z dx+\left (\frac{δy}{δz} \right )_xdz
```
Jika persamaan satu dimasukkan persamaan dy ke persamaan dx maka hasilnya sebagai berikut :
```
dx=\left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z \left [ \left (\frac{δy}{δx} \right )_z dx + \left (\frac{δy}{δz} \right )_x dz\right ]+\left ( \frac{δx}{δz} \right ) _y dz
```
```
dx=\left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δx} \right )_z dx \ + \left[ \left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δz} \right )_x +\left ( \frac{δx}{δz} \right ) _y \right]dz
```
Misalkan dari tiga koordinat hanya terdapat dua yang bebas yakni (x,z), jika dz=0 dan dx ≠ 0, maka :
```
\left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δx} \right )_z = 1
```
jika dx = 0 dan dz ≠ 0, maka
```
\left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δz} \right )_x +\left ( \frac{δx}{δz} \right ) _y = 0
```
```
\left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δz} \right )_x =-\left ( \frac{δx}{δz} \right ) _y
```
dengan demikian
```
\left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δz} \right )_x \left ( \frac{δz}{δx} \right ) _y =-1
```
B. Contoh Aplikasi

Setiap infinitesimel dalam koordinat termodinamika (P, V, T). Hubungan antara variabel dapat di hitung dengan nilai yang berubah terhadap dua variable lainnya.

Misalnya variabel V adalah fungsi dari (T,P) maka nilai V dapat ditentukan dengan persamaan diferensial parsial yakni :
```
dV = \left ( \frac{δV}{δT}\right )_p dT \ + \left ( \frac{δV}{δP}\right )_TdP
```
Kuantitas pemuaian volume rata-rata didefenisikan sebagai :
```
muai \ volume \ rata-rata = \frac{perubahan \ volume /satuan \ volume}{perubahan \ temperatur}
```
Pada kondisi isobar.

Jika perubahan temperature sangat kecil, maka perubahan volume juga akan sangat kecil, maka Koefisien pemuaian (β) dirumuskan :
```
β=\frac{1}{V} \left( \frac{δV}{δT}\right)_P
```
Secara matematis β adalah fungsi dari (T,P) hanya saja dalam percobaan banyak zat yang memiliki nilai β yang tidak sensitif terhadapat tekanan (dP) dan hanya sedikit berubah terhadap perubahan suhu (dT).

Dampak dari perubahan tekannan pada keadada isotermik dinyatakan dalam κ (baca kappa) yang disebut ketermampatan isotermik, secara matematis dinyatakan sebagai berikut:
```
κ=-\frac{1}{V} \left( \frac{δV}{δP}\right)_T
```
Berdasarkan teorema matematika maka persamaan Hidrostatik diperoleh :
```
\left ( \frac{δP}{δV} \right ) _T\left (\frac{δV}{δT} \right )_P =-\left ( \frac{δP}{δT} \right ) _V
```
atau
```
\frac{\left (\frac{δV}{δT} \right )_P}{\left ( \frac{δV}{δP} \right ) _T}=-\left ( \frac{δP}{δT} \right ) _V
```
masukkan dinilai persamaan β dan κ, sehingga hasilnya :
```
\left ( \frac{δP}{δT} \right ) _V=\frac{β}{κ}
```
Pada kondisi Isobarik, maka bentuk diferensial parsialnya adalah :
```
dP = \left ( \frac{δP}{δT}\right )_v dT \ + \left ( \frac{δP}{δV}\right )_T dV
```
maka dP :
```
dP = \frac{β}{κ}dT-\frac{1}{κV}dV
```
Pada kondoso Isohorik dimana dV = 0, maka
```
\int^2_1 dP = \frac{β}{κ} \int^2_1 dT
```
```
P_2-P_1 =\frac{β}{κ}(T_2-T_1)
```
Tugas :

Buktikan bahwa :
```
β=\frac{1}{T}
```
dan
```
κ = \frac{1}{P}
```
Pada gas ideal dengan persamaan PV = RT !!!
February 22, 2022
Solusi dan Bentuk Umum Dari PDB Orde 2 – Homogen
Ahmaddahlan.NET – Persamaan diferensial orde n melibatkan sebuah variable yang bergantung pada nilai variable lain dengan orde turunan ke-n. Misalkan sebuah persamaan x yang berubah terhadap y. Persamaan ini memiliki dua bentuk yang PDB Orde II Homogen dan Tak Homogen.
```
y"+P_{(x)}y'+Q_{(x)}y=R_{(x)}
```
Bentuk Umum PDB Orde II Homogen

Jika sebuah persamaan memiliki nilai R_(x)=0, maka Persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Homogen dengan bentuk :

y” + ay’ + by = 0

atau :

(D²+aD¹+b)y = 0

dimana a dan y ≠ 0, misalkan Dy = ry dimana solusi sederhana dari ry = Ae^rx, maka:

D²y = D(Dy) = D(ry) = r (Dy) = r(ry) = r²y

sehingga persamaan (D²+aD¹+b)y = 0 bisa ditulis (r² + ar + b) y = 0, dengan demikian

r² + ar¹ + b = 0

Fungsi r² + ar + b ini adalah fungsi polinom dengan karakteristik diskriminan

∆ = a² + 4b

Nilai diskriminan ini terdapat 3 kemungkinan yakni ∆ > 0, ∆ = 0, dan ∆ < 0.

a. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ > 0

Pada persamaan r² + ar¹ + b = 0 dengan r₁ ≠ r₂ dimana ∆ > 0 berasal dari nilai a > 0 dan a² > 4b, maka solusi adalah

u₁ = e^r1x dan u₂ = e^r2x

Dengan demikian solusi umumnya sebagai berikut

y = c₁e^r₁x + c₂e^r₂x

b. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ = 0

Untuk nilai diskriminan ∆ = 0, maka nilai a² = 4b sehingga :
```
 r^2 + ar^1 + b = r^2+ar^1+\frac{a^2}{4}=0
```
```
(r+\frac{a}{2})^2 = 0
```
suku diatas memiliki akar-akar persamaan :
```
r=-\frac{a}{2} (akar ganda)
```
Nilau suku ux terbagi dalam dua kemungkinan yakni :

u_x = λu_x = e^rx

sedangkan u_x ≠ λu_x, misalkan :

v_(x) = xu_(x) = xe^rx

maka turunan v terhadap x adalah turunan parsial Dv = u.dv + v.du

Dv=e^rx +rxe^rx=(1+rx)e^rx

D²v = D e^rx(1+rx) = re^rx(1+rx) + re^rx

(r²x+2r ) e^rx

Subtitusikan ke persamaan (D² + aD + b ) v, hasilnya

((r²x+2r ) e^rx) + a (1 + rx) e^rx+ b ) xe^rx

Satukan suku-suku yang sama

(r²x + ar + b) x + (a + 2r) e^rx = 0

maka

(r²x + ar + b) x = 0 dan (a + 2r) e^rx = 0

Jadi v_(x) = xe^rx adalah solusi dari u_(x) dan v_(x) bebas dan linier, solusi umumnya adalah :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

c. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ < 0

Untuk ∆ = a² – 4b < 0, maka akar-akar persamaan akan menghasilkan bilangan kompleks yang saling konjugat :
```
r_{1,2}=\frac{-a ± \sqrt{a^2-4b}}{2}
```
karena nilai a² – 4b < 0 maka akar-karnya irsaional sehingga
```
r_{1,2}=\frac{-a}{2}+i \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
dimana i² = -1

masalkan :
```
α = \frac{-a}{2}
```
dan
```
β =\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
nilai dari r₁ = α + iβ dan r₂ = α – iβ. akar-akar persamaan adalah :
```
\overline{y}_1=e^{r_1x}=e^{α+iβ}=e^{αx}(\cosβ+i \sin β)
```
dan
```
\overline{y}_2=e^{r_2x}=e^{α-iβ}=e^{αx}(cosβ-i \sin β)
```
Persamaan tersebut bisa disederhanakan dengan menggunakan identitas Trigonometri
```
y_1(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 + \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\cosβ
```
dan
```
y_2(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 - \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\sinβ
```
sehingga solusi umunya adalah :

y(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) = e^ax(cos β + sin β)

Kesimpulan

1. Untuk r₁ ≠ r₂ maka y₁ = e^r1x dan y₂ = e^r2x dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^r1x+ c₂e^r2x

2. Untuk r₁ = r₂ maka y₁ = e^rx dan y₂ = xe^rx dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

3.Untuk r₁ = u + wi dan r₂= u – wi atau disebut akar kompleks konjugat maka y₁ = e^ux cos wx dan y₂ = e^ux sin wx solusinya adalah :

y = e^ux ( c₁ cos wx + c₂ sin wx)
May 7, 2021