Turunan Persamaan Newton tentang Gerak

Materi gerak lurus berubah beraturan dalam tinjauan kinematika, gerak ditinjau tanpa memperhatikan gaya yang membuatnya bergerak, terdapat tiga rumus tentang gerak. Rumus tersebut diturunkan dari persamaan Newton tentang gerak dengan penurunan sebagai berikut:

v_t=v_o+at

s_t=v_ot+\frac{1}{2}at^2

v_t^2=v_0^2+2as

dimana v₀ adalah kecepatan awal, v_t adalah kecepatan sesaat pada saat t, t adalah waktu, a percepatan dan s adalah jarak.

A. Turunan Persamaan Pertama

Kita mulai dari defenisi dari percepatan konstan yang tidak lain adalah perubahan kecepatan terhadap waktu yang secara matematis dituliskan sebagai berikut:

a = \frac{dv}{dt}

karena v adalah fungsi dari waktu maka persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:

a.dt = dv_{(t)}

solusi dari persamaan adalah integralkan ke dua sisi

a \int dt = \int dv_{(t)}

karena integral ini tanpa batas maka akan menghasilkan nilai constan dengan persamaan seperti berikut :

at=v_{(t)}+c

c adalah nilai kontant dengan yang dapat diketahui dengan mengganti nilai t=0, dengan demikian persamaan ditulis

a_{(0)}=v_{(0)}+ c

c =-v_{(0)}

dimana v₍₀₎ ini tidak lain adalah kecepatan awal dari gerak. dengan demikian persamaan ini dapat dituliskan

v_{(t)}=v_{(0)}+at

Secara matematis persamaan ini menujukkan hubungan antara nilai v_(t) yang berubah terhadap t. Jika digambarkan dalam bentuk kartesian bentuknya sebagai berikut:

B. Turunan Persamaan Kedua

Pada persamaan kita ke dua, kita sudah memiliki persamaan pada hukum pertama yakni v_(t)=v₍₀₎+at, dimana v_(t) sendiri adalah turunan pertama dari perubahan posisi (s) terhadap waktu (t)

v_{(t)} = \frac{ds_{(t)}}{dt} 

maka persamaan Pertama dapat ditulis ulang menjadi :

\frac{ds_{(t)}}{dt}  = v_{(0)}+at

kalikan ke dua rua dengan dt lalu integralkan, maka hasilnya

\int ds_{(t)} = v_{(0)}\int dt+a\int t.dt

solusinya adalah

s_{(t)}= v_{(0)}t+\frac{1}{2}at^2+c

ketika t=0 dan s=0, maka akan didapatkan nilai c = 0, dengan demikin persamaan :

s_{(t)}= v_{(0)}t+\frac{1}{2}at^2

Hubungan antara s_(t) terhadap t dapat ditunjukkan dengan grafik :

C. Persamaan Ketiga

Pada penuruan persamaan ketiga kita dapat membuat sedikit trik matematis yakni dengan asumsi bahwa a adalah turunan pertama dari perubahan kecepatan terhadap waktu:

a=\frac{dv}{dt}

ruas kanan dikalikan dengan 1 dari ds/ds

a=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}

dimana ds/dt tidak lain adalah v, maka persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi

a=\frac{dv}{ds}v

a\int ds=\int vdv

as +c=\frac{1}{2}v^2

perhatikan nilai konstanta ditempatkan di sisi kiri karena sejatinya nilai v dipengaruhi oleh v bukan sebaliknya. jika nilai s dimasukkan sama 0, maka

a(0)+c=\frac{1}{2}v_{(0)}^2

atau

c=\frac{1}{2}v_{(0)}^2

dalam kasus ini nilai v bukanlah fungsi dari waktu tapi fungsi dari jarak sehingga persamaan pada hukum ketiga harusnya dituliskan sebgai berikut :

\frac{1}{2}v_{(s)}^2=\frac{1}{2}v_{(0)}^2+as

kalikan kedua ruas dengan 2, sehingga persamaannya lebih sederhana menjadi

v_{(s)}^2=v_{(0)}^2+2as

Turunan ini tidak sesuai dengan persamaan ketiga yang dituliskan di awal yakni :

v_t^2=v_0^2+2as

persamaan v_t²=v₀²+2as memang terlihat lebih rancu dimana ruas kiri dari persamaan menunjukkan v sebagai fungsi dari t, padahal di sisi kanan tidak ada unsur t. Dengan demikian persamaan ini menunjukkan kecepatan gerak benda terhadap posisi yang semakin jauh akan semakin cepat. Hal ini membuat persamaan ini tidak tepat digambarkan dengan grafik v terhadap t. Harusnya digambarkan melalui grafik v terhadap s.