Tag: Kalkulus

  • Teorema Matimatika di Persamaan Keadaan Termodinamika

    Teorema Matimatika di Persamaan Keadaan Termodinamika

    AhmadDahlan.NET – Beberapa keadaaan pada termodinamika dikaji melalui bantuan pemodelan matematis. Tujuannya untuk memudahkan proses separasi peran dari masing-masing variabel bebas. terhadap nilai dari variable terikat.

    A. Teorema Matematis

    Misalkan saja pada objek termodinamis terdiri dari tiga koordinat yang saling berhubungan x, y dan z, maka hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk :

    f_{(x,y,z)}= 0

    dimana

    x adalah fungsi dari y dan z, maka :

    dx=\left ( \frac{δx}{δy} \right )_z dy+\left (\frac{δx}{δz}  \right )_y dz

    y adalah fungsi dari x dan z, maka :

    dy=\left ( \frac{δy}{δx} \right )_z dx+\left (\frac{δy}{δz} \right )_xdz

    Jika persamaan satu dimasukkan persamaan dy ke persamaan dx maka hasilnya sebagai berikut :

    dx=\left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z \left [ \left (\frac{δy}{δx} \right )_z dx + \left (\frac{δy}{δz} \right )_x dz\right ]+\left ( \frac{δx}{δz} \right ) _y dz
    dx=\left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δx} \right )_z dx \ + \left[ \left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δz} \right )_x +\left ( \frac{δx}{δz} \right ) _y \right]dz

    Misalkan dari tiga koordinat hanya terdapat dua yang bebas yakni (x,z), jika dz=0 dan dx ≠ 0, maka :

    \left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δx} \right )_z = 1

    jika dx = 0 dan dz ≠ 0, maka

    \left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δz} \right )_x +\left ( \frac{δx}{δz} \right ) _y = 0
    \left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δz} \right )_x =-\left ( \frac{δx}{δz} \right ) _y

    dengan demikian 

    \left ( \frac{δx}{δy} \right ) _z\left (\frac{δy}{δz} \right )_x \left ( \frac{δz}{δx} \right ) _y =-1

    B. Contoh Aplikasi

    Setiap infinitesimel dalam koordinat termodinamika (P, V, T). Hubungan antara variabel dapat di hitung dengan nilai yang berubah terhadap dua variable lainnya.

    Misalnya variabel V adalah fungsi dari (T,P) maka nilai V dapat ditentukan dengan persamaan diferensial parsial yakni :

    dV = \left ( \frac{δV}{δT}\right )_p dT \ + \left ( \frac{δV}{δP}\right )_TdP

    Kuantitas pemuaian volume rata-rata didefenisikan sebagai :

    muai \ volume \ rata-rata = \frac{perubahan \ volume /satuan \ volume}{perubahan \ temperatur}

    Pada kondisi isobar.

    Jika perubahan temperature sangat kecil, maka perubahan volume juga akan sangat kecil, maka Koefisien pemuaian (β) dirumuskan :

    β=\frac{1}{V} \left( \frac{δV}{δT}\right)_P

    Secara matematis β adalah fungsi dari (T,P) hanya saja dalam percobaan banyak zat yang memiliki nilai β yang tidak sensitif terhadapat tekanan (dP) dan hanya sedikit berubah terhadap perubahan suhu (dT).

    Dampak dari perubahan tekannan pada keadada isotermik dinyatakan dalam κ (baca kappa) yang disebut ketermampatan isotermik, secara matematis dinyatakan sebagai berikut:

    κ=-\frac{1}{V} \left( \frac{δV}{δP}\right)_T

    Berdasarkan teorema matematika maka persamaan Hidrostatik diperoleh :

    \left ( \frac{δP}{δV} \right ) _T\left (\frac{δV}{δT} \right )_P =-\left ( \frac{δP}{δT} \right ) _V

    atau 

    \frac{\left (\frac{δV}{δT} \right )_P}{\left ( \frac{δV}{δP} \right ) _T}=-\left ( \frac{δP}{δT} \right ) _V

    masukkan dinilai persamaan β dan κ, sehingga hasilnya :

    \left ( \frac{δP}{δT} \right ) _V=\frac{β}{κ}

    Pada kondisi Isobarik, maka bentuk diferensial parsialnya adalah :

    dP = \left ( \frac{δP}{δT}\right )_v dT \ + \left ( \frac{δP}{δV}\right )_T dV

    maka dP :

    dP = \frac{β}{κ}dT-\frac{1}{κV}dV

    Pada kondoso Isohorik dimana dV = 0, maka

    \int^2_1 dP = \frac{β}{κ} \int^2_1 dT
    P_2-P_1 =\frac{β}{κ}(T_2-T_1)

    Tugas :

    Buktikan bahwa :

    β=\frac{1}{T}

    dan

    κ = \frac{1}{P}

    Pada gas ideal dengan persamaan PV = RT !!!