Tag: PDB

Aplikasi Persamaan Diferensial Orde I pada Model Pertumbuhan Eksponensial
AhmadDahlan.NET – Kasus perubahan / pertumbuhan eksponensial adalah sebuah model yang digunakan untuk memprediksi jumlah dari sebuah populasi yang bertambah seiring dengan jumlah waktu. Solusinya dalam bentuk persamaan diferensial yang menunjukkan perubahan nilai dari sesuatu variable terhadpa rentang variable tertentu.

Misalkan sepasang kelinci akan menghasilkan keturunan sepeasang setiap 1 bulan, maka pada bulan berikutnya sepasang kelinci awal akan mengasilkan satu pasang lagi. Dalam sepuluh bulan sepasang kelinci awal ini adakan menghasilkan 10 pasang kelinci, namun kelinci yang dilahirkan pada bulan pertama juga akan menghasilkan keturunanan sepasang pada bulan berikutnya, demikian setereusnya sehingga pertumbuhan kelinci ini tidaklah linier melainkan eksponensial.

Jumlah kelinci dalam kasusu ini dapat diprediksi dengan pemodelan pertumbuhan eksponensial. Misalkan Jumlah populasi bertambah sebesar Δy dipengaruhi jumlah awal y, faktor pertambahan k, dan rentang waktu tertentu Δt.
```
\frac{dy}{dt}= \lim\limits_{Δx\rightarrow 0}\frac{Δy}{Δt}=ky = kdt
```
Bentuk persamaan umumnya adalah :
```
\frac{dy}{dt} = yk
```
Solusi umum dari persamaan ini adalah :
```
\int\frac{dy}{y} = \int kdt
```
```
\ln y |^y_{y_0}= kt + C
```
```
y=y_0e^{kt}
```
jika unsur k > 0 maka populasi ini akan bertambah seiring dengan waktu dan jika k < 0 maka nila y akan berkurang seiring waktu. y_o adalah unsur yang menentukan besar populasi awal yang ada, jika tidak ada populasi maka tidak akan ada perubahan jumlah populasi.

Contoh Grafik Pengurangan Eksponensial

Pemodelan Kasus Fisika dengan PDB Orde I

A. Peluruhan Zat Radioaktif

Zat radiokaktif adalah zat yang tidak stabil dan jumlah akan selalu berkurang setengah dari jumlah awal dalam rentang waktu tertentu. Rentang waktu ini disebut waktu paruh dan setiap zat radioaktif memiliki waktu paruh yang berbeda-beda.

Jumlah peluruhan zat radioaktif ini akan sebanding dengan Jumlah zat awal dair radioaktif ini, dengan demikian pemodelan matematis untuk jumlah zatnya dapat dihitung dengan persamaan :
```
\frac{dN}{dt}=-λN
```
dimana :

N : Jumlah zat (gram atau mol)
λ : kontanta waktu paruh (gram/s atau mol/s)
t : rentang waktu (s)

solusinya adalah :
```
\int \frac{dN}{N}=-\int λdt
```
```
N = N_0e^{-λt}
```
B. Hukum Pendinginan Newton

Sebuah benda dengan suhu tinggi, diletakkan pada suatu ruangan yang suhu nya lebih rendah akan mengalami penurunan suhu sesuai dengan hukum Termodinamika. Jika suhu tersebut berkurang dengan spesifik dengan perbandingan suhu awalnya maka penurunan suhu ini dapat dihitung dengan Hukum Pendinginan Newton :
```
\frac{dT}{dt}=k(T-T_1)
```
Dimanan dT/dt menunjukkan perubahan suhu sebagai fungsi dari waktu. k adalah spesifikasi penurunan suhu. Jika k bernilai positif (+k) maka suhu benda mengalami peningkatan dan jika benilai negatif (-k) maka terjadi penurunan suhu.

Hukum Pendidinginan Newton ini berlaku pada ruangan yang memiliki sifat reservoir panas yang sangat besar sehingga suhu ruangan tidak bertambah. Dengan demikian T₁ bernilai konstan.

Solusi persamaan ini adalah :
```
\int \frac{dT}{T-T_1}=k\int dt
```
```
\ln|T-T_1|=kt+C
```
```
T-T_1=e^{kt+C}
```
```
T=T_1+C_1e^{kt}
```
besar nilai C₁ bisa diketahui dengan asumsi pendinginan terjadi t=0, sehingga e^k0 = 1 persamaan jadi

C₁ = T – T₁
June 6, 2021
Analisis Gerak Pegas dengan PDB Orde II – Gerak Harmonis dan Teredam
Ahmaddahlan.NET – Gerak pada pegas merupakan salah satu gerak yang dapat dianalisis melalui persamaan diferensial biasa orde II (PDB Orde II). Gerak ini mengikuti hukum Newton tentang gerak. Asumsinya ada dua yakni jika terjadi secara harmonis dan tidak harmonis.

Gerak Harmonis Pegas diterapkan dengan asumsi tidak ada gaya luar yang bekerja pada pegas sehingga ketika egas diberi ganguan / simpangan, pegas akan terus berayun selaman dengan periode tetap. Asumsi ke dua jika ada gaya eksternal yang bekerja pada pegas yang nilainya kecil, maka pegas akan akan berhenti pada satu waktu tersebut. Gerak pegas ini disebut Teredam lembut atau Dumped Oscillation.

Pada sebuah pegas yang digantung beban akan terdapat empat kemungkinan gaya masing adalah :
1. Gaya berat w = mg
2. Gaya pemulih F_k = -k (y+Δy)
3. Gaya Peredam pada pegas F_D = -Dv_y
4. Gaya Eksternal F_e
Misalkan pegas diberi ganguan sehingga pegas mulai bergerak maka berlaku hukum Newton II tentang gerak

ΣF = ma

Persamaan ini kemudian di subtitusi dengan semua gaya yang bekerja pada pegas sehingga menjadi
$W_b+F_k+F_D+Fe = ma$
```
mg - ky - kΔy -Dv_y + F_e = ma
```
Karena mg = -ky dan v_y adalah turunan pertama perubahan posisi terhadap waktu dy/dt maka persamaan ini dapat dituls lebih sederhana.
```
-kΔy -D\frac{dy}{dt}+ F_e = m\frac{d^2y}{dt^2}
```
Jika Δy adalah besara simpangan maka bisa dianggap sebagai y, dengan demikian Bentuk umum persamaan diferensial biasa Orde II untuk Gerak harmonik pada pegas adalah :
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =F_e
```
A. Analisis Matematis Gerak Harmonis Pegas

Pada gerak pegas yang berosilasi harmonik sederhana ada dua asumsi yang dimasukkan yang tidak ada gaya peredam dan gaya eksternal yang bekerja sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +ky =0
```
bagi kedua ruas dengan m
```
\frac{d^2y}{dt^2} +\frac{k}{m}y =0
```
Pada saat pegas berada pada percepatan maksimum nilai k/m = ω², sehingga
```
\frac{d^2}{dt^2} y+ω^2y =0
```
```
(\frac{d^2}{dt^2} +ω^2)y =0
```
Misalkan :
```
\frac{d^2}{dt^2} = r^2
```
maka bisa disimpulkan
```
r^2 + ω^2 = 0
```
Persamaan ini r²+ω²=0 memiliki akar-akar yang homogen seperti pada Solusi Umum PBD Orde II yakni r_1,2 = ±iω₀ dengan solusi :
```
y_{(t)}=c_1 \cosω_0t+c_2\sinω_0t
```
Untuk menentukan nilai konstanra c₁ dan c₂, kita lakukan sedikit trik dengan mengalikan ke dua ruas dengan :
```
\frac{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}=1
```
Sehingga persamaan dapat ditulis dengan :
```
y_{(t)}=\sqrt{c_1^2+c_2^2}(\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} \cosω_0t+\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\sinω_0t)
```
Misalkan R²=C₁²+C₂², diambil dari sebuah segitiga siku-siku, maka
```
\cosθ=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} 
```
dan
```
\sin θ= \frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}
```
Sehingga solusi y_(t) dapat ditulis :
```
y_{(t)}=R (\sinθ\cos ω_0t+\cosθ\sin ω_0t)
```
Bisa disederhanakan dengan indetintas Trigonometri yakni
```
y_{(t)}=R \cos (ω_0t±θ)
```
Dimana
y_(t)= simpangan gelombang
R = Amplitudo
θ = bilangan gelombang
ω₀ = frekuensi sudut dimana ω₀²=k/m

B. Analisis Matematis Gerak Pegas Teredam Lembut

Pada kasus dunia nyata misalnya sebauh pegas yang dipasang pada sebuah motor. Pegas akan mendapatkan gaya peredam dari pegas agar getaran berhenti.
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =F_e
```
Pada kasus Pegas teredam Lembut maka F_e adalah nol, sehingga peredam hanya berasal dari gaya peredam pegas.
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =0
```
Kita gunakan pemisalan r = d/dt, sehingga persamaan ini dapat ditulis
```
(m.r^2+D.r+k)y=0
```
dengan demikian :
```
m.r^2+D.r+k=0
```
Pada kasus terdeam lembut Diskiriman berlaku D² – 4mk < 0 sehingga akar-akar dapat dinyatakan dalam bilangan real dengan bentuk :
```
r_{1,2}=\frac{-b±i\sqrt{4mk-D^2}}{2m}=\frac{-b}{2m}±\frac{i\sqrt{4mk-D^2}}{2m}
```
suku pertama adalah α dan β. Bentuk solusi dari dari persamaan ini adalah :
```
y_{(t)}=c_1e^{α +iβt}+c_2e^{α -iβt}
```
masukkan nilai α dan β, sehingga solusinya gerak terdemannya menjadi
```
y_{(t)}=Re^{\frac{-d}{2m}t}\cosβt-θ
```
Dimana R adalah Simpangan maksimum awal atau y₀

Bentuk Getarannya seperti berikut :
May 9, 2021
Solusi dan Bentuk Umum Dari PDB Orde 2 – Homogen
Ahmaddahlan.NET – Persamaan diferensial orde n melibatkan sebuah variable yang bergantung pada nilai variable lain dengan orde turunan ke-n. Misalkan sebuah persamaan x yang berubah terhadap y. Persamaan ini memiliki dua bentuk yang PDB Orde II Homogen dan Tak Homogen.
```
y"+P_{(x)}y'+Q_{(x)}y=R_{(x)}
```
Bentuk Umum PDB Orde II Homogen

Jika sebuah persamaan memiliki nilai R_(x)=0, maka Persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Homogen dengan bentuk :

y” + ay’ + by = 0

atau :

(D²+aD¹+b)y = 0

dimana a dan y ≠ 0, misalkan Dy = ry dimana solusi sederhana dari ry = Ae^rx, maka:

D²y = D(Dy) = D(ry) = r (Dy) = r(ry) = r²y

sehingga persamaan (D²+aD¹+b)y = 0 bisa ditulis (r² + ar + b) y = 0, dengan demikian

r² + ar¹ + b = 0

Fungsi r² + ar + b ini adalah fungsi polinom dengan karakteristik diskriminan

∆ = a² + 4b

Nilai diskriminan ini terdapat 3 kemungkinan yakni ∆ > 0, ∆ = 0, dan ∆ < 0.

a. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ > 0

Pada persamaan r² + ar¹ + b = 0 dengan r₁ ≠ r₂ dimana ∆ > 0 berasal dari nilai a > 0 dan a² > 4b, maka solusi adalah

u₁ = e^r1x dan u₂ = e^r2x

Dengan demikian solusi umumnya sebagai berikut

y = c₁e^r₁x + c₂e^r₂x

b. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ = 0

Untuk nilai diskriminan ∆ = 0, maka nilai a² = 4b sehingga :
```
 r^2 + ar^1 + b = r^2+ar^1+\frac{a^2}{4}=0
```
```
(r+\frac{a}{2})^2 = 0
```
suku diatas memiliki akar-akar persamaan :
```
r=-\frac{a}{2} (akar ganda)
```
Nilau suku ux terbagi dalam dua kemungkinan yakni :

u_x = λu_x = e^rx

sedangkan u_x ≠ λu_x, misalkan :

v_(x) = xu_(x) = xe^rx

maka turunan v terhadap x adalah turunan parsial Dv = u.dv + v.du

Dv=e^rx +rxe^rx=(1+rx)e^rx

D²v = D e^rx(1+rx) = re^rx(1+rx) + re^rx

(r²x+2r ) e^rx

Subtitusikan ke persamaan (D² + aD + b ) v, hasilnya

((r²x+2r ) e^rx) + a (1 + rx) e^rx+ b ) xe^rx

Satukan suku-suku yang sama

(r²x + ar + b) x + (a + 2r) e^rx = 0

maka

(r²x + ar + b) x = 0 dan (a + 2r) e^rx = 0

Jadi v_(x) = xe^rx adalah solusi dari u_(x) dan v_(x) bebas dan linier, solusi umumnya adalah :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

c. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ < 0

Untuk ∆ = a² – 4b < 0, maka akar-akar persamaan akan menghasilkan bilangan kompleks yang saling konjugat :
```
r_{1,2}=\frac{-a ± \sqrt{a^2-4b}}{2}
```
karena nilai a² – 4b < 0 maka akar-karnya irsaional sehingga
```
r_{1,2}=\frac{-a}{2}+i \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
dimana i² = -1

masalkan :
```
α = \frac{-a}{2}
```
dan
```
β =\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
nilai dari r₁ = α + iβ dan r₂ = α – iβ. akar-akar persamaan adalah :
```
\overline{y}_1=e^{r_1x}=e^{α+iβ}=e^{αx}(\cosβ+i \sin β)
```
dan
```
\overline{y}_2=e^{r_2x}=e^{α-iβ}=e^{αx}(cosβ-i \sin β)
```
Persamaan tersebut bisa disederhanakan dengan menggunakan identitas Trigonometri
```
y_1(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 + \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\cosβ
```
dan
```
y_2(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 - \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\sinβ
```
sehingga solusi umunya adalah :

y(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) = e^ax(cos β + sin β)

Kesimpulan

1. Untuk r₁ ≠ r₂ maka y₁ = e^r1x dan y₂ = e^r2x dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^r1x+ c₂e^r2x

2. Untuk r₁ = r₂ maka y₁ = e^rx dan y₂ = xe^rx dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

3.Untuk r₁ = u + wi dan r₂= u – wi atau disebut akar kompleks konjugat maka y₁ = e^ux cos wx dan y₂ = e^ux sin wx solusinya adalah :

y = e^ux ( c₁ cos wx + c₂ sin wx)
May 7, 2021
Belajar Matlab – Solusi Persamaan Diferensial Biasa Numerik dengan Metode Heun
AhmadDahlan.NET – Metode Heun adalah analisi Numerik yang digunakan menghitung luas sebuah daerah yang dibatasi oleh sebuah garis dari fungsi y dengan menggunakan pendekatan Perkiraan Gradian dari Garis yang ada. Metode ini adalah modifikasi Analisi Numerik PDB dengan metode Euler.

Pada Metode Euler, Perhitungan dibatasi dengan penggunaan garis tangen dari potongan-potongan garis yang dibentuk olhe sebuah fungsi. Asumsinya semakin kecil inteval yang dibentuk maka semakin kecul pula kesalahan yang dihasilkan.

Hanya saja Prediksi dari Euler masih terdapat kekurangan, misalnya pada garis lengkung ke bawah (cekung) persaman garis tebakan akan berada di daerah atas, begitu pula sebaliknya seperti ilutrasi berikut :

Pada Metode Heun Dilakukan Pendekatan yang lebih presisi dalam mengikuti kelengkungan dari Fungsi S yakni menebak gradien antara gardien yang lewat di atas curva dan di bawah curva seperti gambar di bawah ini

Langkah Penyelesaian Metode Heun Sebagai Berikut :

1. Tentukan nilai fungsi menggunakan nilai awal x₀ dan y₀ :
```
y' = f(x_1,y_1)
```
2. Tentukan nilai y_1+i. Persamaan ini disebut sebagai persamaan Prediktor
```
y_{1+i}=y_i+y'h
```
3. Tentukan nilai y_1+i‘
```
y_{1+i}' =
```
4. Tentukan nilai rata-rata y
```
\overline{y}= \frac{y_1+y_{1+i}'}{2} 
```
5. Tentukan nilai Hampiran akhir
```
y_{1+i}=y_i+\overline{y}*h
```
Persamaan ini disebut sebagai persaman Corrector.

A. Studi Kasus

Misalkan sebuah Persamaan Diferensial Biasa orde I
```
y' =4e^{0.8x}-5y 
```
dengan batas bawah x = 0 dan batas x = 4 dengan langkah h = 1 dan kondisi awal y₍₀₎ = 2. Tentukan solusi numerik dari PDB Orde I tersebut dengan metode Heun!

Solusi Metode analitik dari Persaman di atas adalah :
```
y_{(x)} =\frac{4}{1,3}(e^{0,8x}-e^{-0,5x})+2e^{-0,5x}
```
Solusi Numerik dengan Metode Heun

1. Tentukan fungsi pada x = 0 dan x = 2
```
y'= 4e^0-0,5(2) = 3
```
2. Menentukan estimasi y pad x = 1 dengan dengan persamaan prediktor
```
y_1=2+3(1) = 5
```
3. Memperbaiki Nilai Estimasi y_1+i digunakan y₁ untuk memprediksi slope pada akhir interval
```
y_1'=4e^{0.8(1)}-0,5(5)=6.402164
```
4. Menggabungkan Slope awal dan slope akhir untuk menghasilkan slope rata-rata dari interval x=0 sampai x=1
```
\overline{y}=\frac{3+6.402164}{2}=4.701082
```
5. Solusi (4) disubstitusi ke persamaan korektor untuk memberikan nilai prediksi pada x=1
```
y_1 = 2+ 4.701082(1) = 6.701082
```
6. Substitusi balik hasil (5) ke persamaan ruas kanan korektor untuk memperbaiki prediksi y₁
```
y_1=2+\frac{3+4e^{0,8(1)}-0,5(6,701082)}{2}(1)=6.275811
```
7. Lakukan langkah (6) sebanyak iterasi yang dinginkan
```
y_1=2+\frac{3+4e^{0,8(1)}-0,5(6.275811)}{2}(1)=6.382129
```
B. Script Matlab
```
y0=2;
h=1;
mx(1)=0;
my(1)=2;
%solusi Numerik
for ii=1:4
  f1=(4*exp(0.8*x))-(0.5*y0);
  y=y0+(f1*h)
  x=x+1
  f2=(4*exp(0.8*x))-(0,5*y);
  m=(f1+f2)/2;
  y=y0+m;
    for jj=1:16;
    y1=y;
    y=y0+((f1+(4*exp(0.8*x))-(0,5*y1))*h/2);
    y1=y;
    end
  mx(ii+1)=ii;
  my(ii+1)=y;
  y0=y
end
%solusi Analitik
y_analitik = ((4/1.3*(exp(0,8*mx)-exp(-0,5*mx)))+2*exp(-0.5*mx);
plot(mx,my,'r',mx,y_analitik,'b'b);
```
May 6, 2021