Tag: Pegas

AhmadDahlan.NET – Untuk menganalisis periode dan karakteristi Sinosoidal pada pegas, mari kita misalkan sebuah pegas dengan konstanta k digantungkan beban sebesar m seperti pada gambar dibawah ini !

Ketika pegas diberi ganguan yang kecil maka akan berosilisasi dengan gaya-gaya yang bekerja pada pegas adalah :

1. Gaya Berat, w = mg
2. Gaya Pemulih dari pegas yakni F_k = – k (y + Δy)
3. Gaya peredam F_D = -Dv_y
4. Gaya eksternal dari ganguan yang diberikan F_e.

Karena benda bergerak dengan kecepatan yang tidak tetap maka berlaku hukum II Newton tentang gerak sehingga :

Σ F = ma

gaya-gaya yang berlaku kemudian dmasukkan ke dalam ΣF, sehingga persamaan ini bisa ditulis :

W + F_k + F_D + F_e = ma_y

mg – k (y + Δy) – Dv_y – Fe = ma_y

mg – ky – kΔy – Dv_y – Fe = ma_y

Perhatikan unsur mg = kx dan v_y = dy/dt, dan a_y = d²y/dt² maka persamaan ini bisa ditulis :

unsur Δy tidak lain adalah simpangan (y), persamaan kemudian dapat ditulis dengan bentuk :

Pada gerak harmonik sederhana, D dy/dt dapat dihilangkan karena pegas tidak mengalami regangan karena dianggap akan terus berayun sedangkan gaya Fe dapat dihilangkan karena sistem sudah dalam keadaan setimbang, sehingga persamaan ini dapat ditulis :

Pada saat posisi pegas berada pada kecepatan maksimum maka kecepatan sesaat nya adalah ω² = k/m

Dalam persamaan diferensial Biasa orde II (PDB Orde II), bentuk ini bisa ditulis

r² + ω² = 0

r² + ω² = 0 memiliki akar-akar persamaan r_1,2=±iω₀ sehingga bentuk solusi adalah :

y(t) = c₁ cos ω₀t + c₂ sin ω₀t

kedua ruas kemudian dikalikan dengan √(c₁²+c₂²) / √(c₁²+c₂²) sehingga :

jika kita misalkan R² = c₁²+c₂² maka :

masukkan solusi ke persamaan y(t) maka solusinya adalah :

y(t) = R (sin θ cos θ ω₀t + cos θ sin θ ω₀t)

berdasarkan idnetitas trigonometri persamaan dapat ditulis lebih sederhana yakni

y(t) = R cos (ω₀t ± θ)

R tidak lain adalah Amplitudo arau R maksimum sehingga persamaan umum gelombang berlajan yang berubah terhadap waktu adalah :

y(t) = A cos (ω₀t ± θ)

dimana :

A : Amplitudo (m)
y(t) : Simpangan (m)
ω : Kecepatan sudut (rad/s)
t : waktu (s)
θ : beda fase

Persamaan y(t) = A cos (ω₀t ± θ) ini juga dikenal sebagai persamaan umum gelombang berjalan untuk herak harmonik sederhana.

Periode dan Frekuensi Gelombang

Perhatikan hubungan kecepatan sudut ω = 2πf, dan ω² = k/m sehingga dapat disimpulkan jika

Dimana :

T : Periode gelombang berjalan (sekon)
f : frekuensi gelombang (hz)

perhatikan persamaan periode getaran dari yang menunjukkan hubungan antara T ~ √m. Hal ini menunjukkan jika kelambaman (inersia) dari massa juga berpengaruh terhadap periode ayunan dimana semakin besar inersia maka semakin lama pula periode getarannya.

Baca Juga : Gerak Melingkar

Tugas dan Latihan

Karena y(t) adalah fungsi simpanga terhadap waktu maka turunan pertama y(t) terhadap waktu adalah kecepatan dan turunan kedua adanya percepatan, maka tentutakanlah :

• Persamaan kecepatan
• Persamaan percepatan.

Hukum Hooke dan Osilasi Pegas – Sebuah pegas akan mengalami perabahan panjang ketika diberikan gaya. Misalkan gaya tersebut berasal dari sebuah beban bermassa m, kemudian ditarik dengan gangguan kecil. Pegas akan begerak bolak-balok. Gerak ini disebut gerak harmonik sederhana yakni gerak osilasi pada pegas dengan gaya kecil.

A. Gerak Osilasi Sederhana

Misalkan sebuah benda terhubung dengan sebuah pegas diletakkan di atas meja licin yang gaya geseknya diabaikan.

Beban m ini kemudian didorong dengan gaya F sampai pegas bergerak sejauh x dari posisi awal, ketika gaya dilepas maka pegas akan menarik massa mendekat dengan dingding ke titik 0 lalu bergerak kembali sampai sejauh -x, gaya ini disebut gaya pegas yang kemudian akan menimbulkan rekasi gaya pemulih yang sama besar dengan gaya yang membuat pegas kembalo ke posisi 0 lalu sampai ke posisi x.

Jika sistem ini sempurna maka pegas akan terus menerus bergerak bolak-balik dengan lintasan yang sama dengan waktu yang sama. Gerak ini selanjutnya disebut sebagai osilasi dengan waktu satu getaran akan sama dengan getaran berikutnya (Periodik).

B. Hukum Hooke

Besar perpindahan (x) yang dihasilkan saat menarik pegas bergantung dari besar gaya (F) yang diberikan.

F ~ x

besar perpindahan ditentukan dari jenis pegas itu sendiri yang disebut sebagai konstanta pegas (k) dengan demikian persamaan ditulis :

F = -kx

F : Gaya pemulih (N)
k : konstanta pegas (N/m)
x : perpindahan (m)

tanda negatif (-) menunjukkan bahwa gaya pemulih berlawanan arah dengan gaya pegas yang diberikan. Persamaan ini juga dikenal sebagai Hukum Hooke karena ditemukan oleh Robert Hooke. Gaya ini bekerja pada pegas selama gaya yang diberikan tidak begitu besar sehingga lebh kecil dari gaya kritisnya yakni gaya yang membuat pegas mengalami perubahan bentuk.

a. Tinjauan Gerak pada Pegas

Segera setelah gaya yang diberikan ke pegas dilepaskan, maka pegas akan mulai bergerak dari keadaan diam di titik x ke sumbu -, kecepatan sesaat setalah pada posisi ini adalah kecepatan paling rendah dan menjadi maksimum pada saat benda mendekati titik kesetimbangan yakni titik 0, setelah melewati titik 0, kecepatan pegas akan berkurang dan sampai akhirnya menjadi 0 dititk -x.

Kembali dari titik -x, kecepatan benda berubah ke arah ke sumbu +, kemudian mendapatkan kecepatan maksimal di posisi 0 dan menurun ketiak melewati titik 0 ke titik x. Lama waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getawan penuh, posisi yang sama, selanjutnya disebut sabagi Periode (T) sedangkan jumlah getaran yang dibentuk untuk satuan waktu disebut periode (f).

T = 1/f dan f = 1/T

Misalkan saja sebuah pegas berisolasi 4 getaran setiap sekoan maka Periodenya 0,25 sekon dan frekuensinya adalah 4 Hz.

b Susunan Pegas

Misalkan dua buah pegas dikombinasikan, maka kombinasi dari pegas ini akan memiliki dua kemungkinan yakni tersusun secara (1) pararel dan (2) seri.

1. Susunan Pegas Seri

Pada gambar di atas dapat dilihat bahwa total pertambahan panjang pegas secara keselurahan pada saat dirangkai seri adalah :

Δx_t = Δx₁ + Δx₂

Karena F = k.Δx maka persamaan ini dapat ditulis :

\frac{F}{k_t}=\frac{F}{k_1}+\frac{F}{k_2}

\frac{1}{k_t}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}

2. Susunan Pegas Pararel

Pada pegas yang disusun pararel, beban total yang tergantung pada sistem pegas dibagi ke dua pegas :

w_t = w₁ + w₂

jika w tidak lain adalah gaya yang diberikan maka, w = kx dimana x dianggap sama dengan pertambahan panjang x₁ dan x₂ maka konstanta penggantinya adalah

k_tx = k₁x + k₂x

k_t = k₁ + k₂

Solusi ini secara matematis dianggap benar, hanya saja pada kenyataannya jika pegas memiliki konstanta berbeda dan dirangkai pararel, beban harus diletakkan sedemikian rupa agar pertambahan panjang dari pegas bisa sama, jika tidak maka pertambahan panjang dari rangkaian ini tidak akan sama.

Latihan Konsep dan Soal Pegas

Sebuah mobil dengan massa 1200 kg memiliki 4 pegas yang dirangkai pada tiap bannya. 4 orang menaiki mobil tersebut dengan massa total 200 kg membuat mobil tertekan sejauh 3 cm.

1. berapaka konstanta pegas dari masing-masing mobil?
2. Jika dia orang lagi naik ke atas mobil dengan asumsi satu orang bermassa 50 kg, berapakah perubahan panjang pegas?