Author: Ahmad Dahlan

Memandang Masa Lalu Melalui Langit Malam
AhmadDahlan.NET – Langit gelap di malam hari akan tampak indah dengan kilauan jutaan bintang. Saya tidak akan bercerita mengenai sebuah kisah pilu di status-status galau kaum milenial yang semakin pandai merangkai kata tapi saya akan mengajak anda menyaksikan langsung masa sejarah melalui langit.

Sekalipun waktu tidak dapat diulang, namun menyaksikan sejarah bukanlah hal yang mustahil dalam fisika. Kita hanya perlu sedikit memahami konsep gerak, lalu mari menapaki “waktu” yang telah berlalu di langit malam ini, kalaupun anda membaca ini siang hari, tak mengapa, silahkan amati langitnya malam nanti.

Masa Lalu di Langit Gelap

Melihat bintang bintang yang ada di langit secara harfiah berarti kita menykasikan sejarah atau kejadian yang terjadi masa lampau. Agar bisa dipahami mari kita pahami dua hal terlebih dahulu yakni (1) gerak dan (2) karakter cahaya.

Salah satu karakteristik dari cahaya adalah bergerak. Cahaya yang masuk ke mata manusia dan membuat manusia bisa melihat berasal dari sumber cahaya. Paling tidak gelas yang terlihat di atas meja adalah benda yang memantulkan cahaya dari sumber cahaya ke mata manusia. Uniknya cahaya adalah gelombang elektromagnetik yang dapat merambat tanpa medium, dimaan defenisi merambat adalah berpindah dari satu titik ke titik yang lain.

Mari kita misalkan pada hal-hal yang lebih sederhana seperti mobil yang begerak. Sebuah mobil yang bergerak dengan kecepatan 20 m/s bisa diartikan akan mengalami perubahan posisi sebesar 20 m setiap detiknya sehingga dalam waktu lima detik mobil tersebut akan berpindah sejauh 100 m dari posisi awal.

Hal serupa juga terjadi dengan cahaya. Cahaya begerak dari sumber cahaya membutuhkan waktu untuk merambat dari sumbernya hingga akhirnya sampai ke mata. Jika anda melihat sebuah gelas di atas meja dengan jarak 10 meter, Gelas tersebut memantulkan cahaya dari permukaan dan akan menempuh jarak sejauh 10 meter hingga akhirnya sampai di mata anda.

Hal yang unik adalah kecepatannya yang sangat besar dan membuat kita tidak bisa merasakan delay yang terjadi selama cahaya berada dalam perjalanan dari sumber ke mata. Cahaya begerak pada ruang hampa dengan kecepatan c = 3 x 10⁸ m/s yang berarti cahaya bisa berpindah sejauh 300 ratus ribu kilometer dalam satu detik. Jika keliling bumi adalah 40.075 km, maka dalan satu detik cahaya bisa mengelilingi bumi lebih dari 7 kali, itupun kalau lintasan cahaya bisa melingkar, sayangnya lintasanya lurus.

Jadi jarak meja berada sekitar 10 meter, maka vahaya hanya membutuhkan waktu sekitar 0,000000033333 detik sampai akhirnya ke mata. Jika anda punya teman yang berada di sebelah lapangan boal dengan jarak 100 meter delay yang terjadi hanya sekitar 0,00000033333 detik, waktu yang cukup singkat hingga tidak bisa disadari.

Jarak ini mungkin baru terasa ketika kita melihat bintang terdekat dari bumi yakni matahari yang terpisah dengan jarak rata-rata 150 juta kilometer. Oleh karena itu cahaya matahari butuh waktu sekitar :
```
t = \frac{150.000.000.000m}{300.000.000 m/s} =500 s
```
Perhitungan ini menunjukkan waktu yang dibutuhkan cahaya sampai ke bumi sekitar 8 menit 20 detik. Hal ini berdampak pada dua kesimpulan :
1. Kita tidak bisa melihat matahari secara langsung karena yang kita lihat adalah matahari 8 menit 20 detik yang lalu.
2. Jika terjadi apa-apa dengan matahari misalnya meledak, kita baru melihatnya meledak setelah 8 menit 20 detik kemudian. Itupun kalau bumi tidka terkenda langsung dampaknya.
Dalam kasus ini kita sudah melihat hal-hal yang terjadi di masa lampau yang sebenarnya kejadian pada saat kita melihat matahari sudah tidak terjadi lagi. Sayangnya waktu tersebut masih relatif stabil untuk matahari sehingga kita tidak bisa menyadair perbedaan matahari 8 menit 20 detik yang lalu dengan sekarang.

Bintang Terdekat

Jarak matahari dan bumi terpisah sekitar 150.000.000.000 meter, jarak ini cukup panjang bagi manusia bumi namun bagi alam semesta, jarak ini msaih sangat kecil. Sebut saja jarak Matahari ke Pluto sekitar 5,9 milliar kilometer atau 5.900.000.000.000 meter.

Bintang terdekat dari tata surya dalah Proxima Centaury yang terpisah sekitar 40.000.000.000.000.000 meter, cahaya sendiri membutuhkan waktu untuk menempuh jarak tersebut sekitar 4,2 tahun. Dengan kata lain ketika kita memandang bintang tersebut malam ini, kita hanya melihat cahaya dari 4,2 tahun yang lalu. Dan apa yang terjadi selama 4,2 tahun dengan bintang tersebut, tidak ada yang tahu.

Ilutrasi Cahaya dari Bintang Proxima Centaury ke Pengamat di Bumi

Kita baru mengetahui keadaan bintang tersebut saat ini 4,2 tahun kemudian. Sehingga jika dalam kurung waktu tersebut, jika Proxima Centaury meledak malam ini, kita akan tetap bisa melihat cahaya-nya hingga 4,2 tahun berikutnya sampai akhirnya kita sadar bahwa Proxima Centaury sudah tidak ada.

Hal yang berbeda ketika kita melihat bintang Alfa Centaury A, meskipun kita melihat pada malam yang sama, tapi cahaya dari waktu yang berbeda, dimana Alfa Centaury A sedikit lebih lama yakni sekitar 4,4 tahun cahaya. Jadi kita bisa melihat rentetan waktu sejarah yang berbeda di langit yang sama di malam hari.

Itupun kalau sedang tidak hujan atau mendung tebal.
May 27, 2021
Teori Model Atom Rutherford – Hamburan Partikel Alfa pada Logam Emas
AhmadDahlan.NET – Teori model atom Thomson telah berhasil menjelaskan mengenai keberadaan elektron pada struktur atom dan akhirnya menyodorkan teori Kue Kismis dimana Proton diselimuti elektron seperti coklat pada kue kismis. Hanya saja teori ini gagal menjelaskan mengenai beberapa hasil percobaan mengenai struktur atom secara detail termasuk memberikan gambaran mengenai ukuran dan posisi dari Proton dan Elektron.

Ernest Rutherford bersama kedua mahasiswanya, Hans Geiger dan Erners Masreden kemudian mengajukan model atom berdasarkan hasil percobaan hamburan partikel alfa.

Percobaan Hamburan Sinar Alfa

Teori Atom Rutherford didasarkan pada percobaan hamburan sinar alfa dari He²⁺ pada lembar logam tipis. Rutherford kemudian mengamati jalur yang terbentuk dari hamburan sinar alfa.

Dalam percobaannya, Rutherford menembahkan gelombang sinar alfa berenergi tinggi dari sebuah sumber radioaktif ke sebuah logam emas tipis dengan ketebalan 100 nm. Sebuah layar berbahan fluorescent zinc sulfid diletakkan disekitar lembaran emas untuk mengamati jalur yang terbentuk oleh partikel hamburan.

Observasi yang dilakukan menghasilkan :
1. Sejumlah besar partikel hamburan hanya melewati logam dengan jalur lurus dan membuat kilauan cahaya. Rutherforod menyimpulkan sebagain besar ruang dalam atom kosong
2. Sejumlah besar partikel hamburan dibelokkan dengan sudut kecil oleh logam karena tolakan antar partikel bermuatan positif. Sehingga Rutherford menyimpulkan muatan positif pada partikel ini lebih kecil dari total volumenya.
3. Sejumlah partikel dibelokkan kuat bahkan hampir membentuk sudut 180^o. Rutherford menyebutnya partikel dengan muatan postif kuat ini sebagai Nukleus.
4. Rutherford menyebutkan bahwa sebagian besar massa atom terkonsentrasi di Nuklues.
Model Atom Rutherford

Berdasarkan percobaan tersebut, Rutherford menyimpulkan bahwa :
1. Nukleus berisi partikel bermuatan positif dan memiliki massa yang paling besar dari struktur atom. Nuklues ini selanjutnay disebut sebagai inti atom.
2. Bentuk Struktur atom menyerupai bola.
3. Elektron bergerak dengan kecepatan tinggi mengelilingi inti atom. Orbit elektron berbentuk melingkar dengan memanfaatkan gaya elektrostatis.
Keterbatasan Teori Atom Ruttherford

Meskipun teori model atom yang diajukan Rutherford berdasarkan hasil percobaan namun teori atom gagal dalam menjelaskan beberapa hal :
1. Rutherford menjelaskan bahwa elektron mengeliling Nuclues pada jalur tetap yang disebut orbits. Hal ini gagal menjelaskan fenomena radiasi gelombang elektromagnetik yang dipancarkan elektron pada saat dipercepat. Jika radiasi ini dihitung menggunakan persaman gelombang Maxwell maka energi pada elektron akan habis dan lama-lama kelamaan akan jatuh ke inti sesuai dengan teori gaya elektrostatis yang diajukan Rutherford. Waktu yang dibutuhkan sampai akhirnay elektron jatuh ke inti hanya 8 sampai 10 sekon.
2. Rutherford sama sekali tidak memberikan penjelasan detail mengenai susunan elektron sehingga teorinya tidak lengkap.
Meskipun terbatas dalam menjelaskan fenomena radiasi gelombang elektromagnetik pada partikel yang diberi energi dari luar, Model Atom Rutherford adalah dasar yang baik dalam pengembangan teori atom modern dan hukum-hukum mekanika kuantum.
May 27, 2021
Prinsip Pengembangan Desain UI Media Pembelajaran Berbasis Mobile Android
Ahmaddahlan.NET – Pada saat kita masuk ke dalam sebuah aplikasi atau website kita akan dihadapkan oleh tampilan yang menyediakan menu dan konten. Tampilan ini disebut sebagai User Interface (UI) atau sisi yang dihadapkan ke hadapan User.

Berdasarkan asal katanya, User Interface dapat diartikan dalam bahasa Indonesia sebagai Desain Antarmuka yang diterapkan pada software atau website, atau mudahnya disebut tampilan oleh orang awam. Desain ini dikembangkan dengan fokus pada pengalaman yang dirasakan pengguna selama menggunakan aplikasi. Pengelaman penggunaan ini disebut sebagai User Experience.

Prinsip Desain UI Media Pembelajaran

Seperti namanya, User Interface, menbuat desain UI harus memperhatikan dua faktor yakni User dan Interface. Dari sisi user, sebuah UI harusnya memiliki sisi tehnis yang memudahkan penguna dalam menjalankan aplikasi yang dikembangkan, sedangkandari sis Interface adalah sisi seni yang membuat Aplikasi lebih menarik.

A. Base Pengembangan UI

Faktor pertama yang diperhatikan dalam mengembangkan UI adalah base perangkat tempat software atau website tersebut dikembangkan. BAse Deveice ini akan menentukan ukuran dari UI dan menjadi lembar kerja dari para UI desainer.

Pada umumnya device yang ada saat ini di bagi ke dalam 3 jenis perangkat, yakni Dekstop, Tablet, dan Smartphone. Ketiganya memiliki rasion layar yang berbeda yang umumnya seperti beriktu :
1. Dekstop – Lembar Kerja Tipe Landscape dengan rasio 16 : 9 atau 3 : 2
2. Tablet – Lembar Kerja cenderung kotak dengan rasio 3 : 4 dan 4 : 5
3. Smarpthone – Lembar kerja tipe Portrait dengan rasio 9 : 16 atau 2 : 3
Belakangan ini, aktivitas manusia yang mobile dan perkembangan jaringan komunikasi yang sangat massive membuat penggunaan Smartphone meningkat drastis. Misalnya saja data dari Google Serach Console untuk situs AhmadDahlan.NEt ini dikunjungi lebih dari 81% dari perangkat Samrphone, 18 % dari perangkat Dekstop dan kurang dari satu persen dari Tablet.

Seperti tangkapan layar dari Google Search Console dalam kurung waktu 3 bulan terakhir, Ahamaddahlan.NET mendapatkan kunjungan sebanyak 2.343.740mkali dari smartphone, 583.710 dari Dekstop dan hanya 15 ribu kali dikunjungi dari pernagkat berukuran tablet

Data ni tentu saja menjadi pendukung jika mengembangkan pembelajaran basis Smartphone akan jauh lebih banyak peluang dimanfaatkan dibandingkan dengan perangkat Dekstop. Pembahasan dalam artikel ini selanjutnya akan dikhususkan untuk prinsip pengembangan media pembelajaran dengan basis Android.

Beberapa Developer pengembangan software sebenarnya sudah mengadopsi sistem Responsive desain yakni UI yang bisa menyesuaikan ukuran dan tampilannya berdasarkan perangkat pengguna-nya. Hanya saja User Experience akan jauh lebih nyaman digunakan pada penggunaan yang sama persis dengan pengembangannya.

2. Ukuran dan Komparasi

Sebagaimana yang telah disebutkan sebelumnya, Ukuran dari pembuatan desain UI berbasis perangkat smartphone, kita akan bekerja pada layar yang berbentuk vertical. Perbandingan bermaca-macam, namun pada umumnya mendekati ukuran aspect rasio 9 : 16.

Inci Resolusi Aspect Rasio
5,0 1280 x 720 16 : 9
5,5 1280 x 720 16 : 9
6,0 1280 x 720 16 : 9
7,0 1920×1080 16 : 9

Ukuran tersebut dalam bentuk standar tanpa strech, karena biasanya produsen Samrtphone terkadang membuat smartphone mereka dengan ukuran Stretch agar bebera dengan produsen lainnya.

Tabel di atas menunjukkan berbagai ukuran dari smartphone dalam Inci namun pada kepadatan pixel atau Resolusi tetap menunjukkan aspek rasio yang sama. Aspek Rasio ini memang menghasilkan user experience yang paling baik.

Hal yang perlu dicatat adalah adalah bases resolusi awal yang dipilih. Misalnya apda saat memilih resolusi 1280 x 720 akan menghasilkan gambar yang kurang detail namun memakan memory yang cukup lebih kecil dibandingkan dengan 1920×1080, begitupun sebaliknya.

Selain itu ukuran-ukuran element seperti Font, Spasi, dan gambar akan ikut berpengaruh. Jadi ada baiknya pertimbangkan pemilihan resolusi. Misalnya ukuran font 12 pt akan terlihat lebih kecil di layar dengan resolusi 1920×1080, sehingga bisa membuat lebih banyak huruf, tapi jika terlalu kecil, maka akan kesulitan untuk di baca. Hal ini akan berdampak pada kenyamana pengguna.

3. Sistem Navigasi

Sistem Navigasi adalah layanan yang memungkin user dapat mengontrol jalannya aplikasi seperti melakukan skroll, zoom in dan zoom out, link tautan dan navigasi bar, footer dan sejenisnya. Sistem navigasi dirancang untuk membantu pembaca dalam membaca konten berdasarkan kelompok konten seperti kelompok materi, ujian, tugas,, latihan, video dan sejenisnya.

Pada umumnya navigasi di bagi ke dalam dua kelompok yakni (1) Body Navigasi yakni navigasi yang berada pada laman materi seperti tampilan laman depan, dan internal URL dan (2) Navigasi bar. Seperti Contoh Desain laman Pembuka dan Laman Utama dari sebuah media pembelajaran.

4. Laman Konten

Laman konten adalah bagian utama dari media pembelajaran berbasis mobile. Di laman kegiatan konstruksi pengetahuan peserta didik terbangun dan kontruksi pengetahuan adalah bagian utama dalam pembelajaran.

Bentuk paling sederhana dari media pembelajaran berbasis Android adalah pengganti buku ajar di mana materi disimpan. Perbedaannya adalah dalam media berbasi android, Materi ajar dapat diakses oleh pesera didik diman adan kapan saja karena Smartphone sudah menjadi bagian yang tidak terpisahkan di keseharian peserta didik abad 21.

Idenya adalah membuat laman yang menarik untuk dibaca dan tidak ada ukuran baku untuk membuat desain. Jika pengunjung lama di tempat kita maka ada kemungkinan desain-nya memang menarik atau kontennya memang dibutuhkan oleh user.
May 19, 2021
Solusi Persamaan Diferensial dalam Ilmu Sains
Ahmaddahlan.NET – Persaman Diferensial Biasa adalah sebuah persamaan yang berisi fungsi yang tidak diketahui secara eksplisit dan turunannnya. Bentuknya seperti pada Sistem Gerak pada Pegas yang ditulis dalam bentuk PDB :
```
m\frac{d^2x}{dt^2}+D\frac{dx}{dt}+kx=F
```
dimana m adalah massa beban gantung, D adalah koefisien redaman dan k adalah konstanta elastisitas pegas. Karena x adalah fungsi dari t maka persamaan ini dapat disederhanakan dalam bentuk :
```
mx"+Dx'+kx = F
```
Persaman ini berisi besaran x yang tidak diketahui rumus eksplisit, x’ adalah turunan pertama dan x” adalah turunan kedua. Karena memiliki Orde tertinggi turunan kedua, Persamaan ini disebut Persamaan Diferensial Biasa Orde II atau PDB Orde II.

Arti dari diferensial itu sendiri dalah perubahan sebuah varibale terhadap besaran lain. Misalkan kita umpakan pegas yang berada pada posisi x kemudian bergerak, maka posisi x akan berubah sesuai dengan perubahan dari t, dalam hal ini nilai x adalah fungsi dari t dan ditulis dengan notasi x_(t).

A. Kelompok Persamaan Diferensial

Persaman diferensial terbagi ke dalam dua jenis yakni suatu fungsi yang nilainya hanya berubah terhadap satu besaran yang disebut sebagai persamaan diferensial biasa atau PDB (Ordinary Differential Equation – ODE). Persaman kedua adalah persamaan diferensial parsial yang nilai dari besaran berubah terhadap dua variable atau lebih.

1. Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan difefernsial biasa hanya memiliki satu variabel perubah. Misalkan nilai y terhadap x. Contoh persamaannya adalah :
```
(i).\frac{dx}{dt}=x+t
```
```
(ii).y'=x^2+t^2
```
```
(iii). my"+cy'=-ky
```
Misalkan sebuah fungsi f disebut sebagai besaran yang nilainya tidak diketuhui dari x :

y = f(x)

solusi dari persamaan ini adalah

f'(x)=xf(x)

dimana x adalah rentang tertentu dari sebuah perubahan. Hasil dari turunan ini selanjutnay di tulis dengan notasi

y’=f(x)

Sebagai contoh kita mengetahui bahwa solusi dari persamaan umum

y’=Axⁿ

adalah :
```
y=\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C
```
dengan C adalah konstanta sembarang.

Model Pertumbuhan Populasi

Model pertumbuhan suatu populasi berdasarkan asumsi bahwa besar laju pertumbuhan populasi bergantung dari besar populasinya. Milsanya Populasi Bakteri (N) akan berkembang menjadi 2N dalam waktu 1 detik, jika populasi awalnya adalah 6N maka satu detik berikutnya akan menjadi 12N. Nilai ini selanjutnya disebut faktor yang bisa saja nilainya tetap (konstanta) dan biasa saja nilai juga ikut berubah.

Misalkan sebuah populasi bakteri N yang membelah diri dalam rentang waktu t sebanyak k. Populasi bakteri dalam rentang waktu tertentu jadi bisa diperhitungkan dengan persamaan diferensial biasa:
```
\frac{dN}{dt}=kN
```
Jumlah dari bakteri ini tidak lain
```
\int{\frac{dN}{N}}=k\int{dt}
```
solusinya adalah
```
\ln N = kt + c
```
Jumlah bakterinya dapat dihitung dengan persamaan berikut :
```
N = e^{kt+c}
```
2. Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah sebuah persamaan dimana nilai dari sebuah variable ditentukan oleh dua buah variabel lain. Turunan dari fungsi ijni dilakukan secara parsial dimana salah satu satau dikonstankan terlebih dahulu kemudian setelah variable sisanya.

Bentuk Persamaan Diferensial Parsial sebagai berikut :
```
(i). \frac{δ^2u}{δx^2}+\frac{δ^2u}{δy^2}=6xye^{x+y}
```
dalam kasus ini u adalah fungsi dari x dan y, atau u_xy. Bentuk lain :
```
(ii). \frac{δu}{δt}=3 sin (x+t)+\frac{δ^2u}{δx^2}+(1+x^2)+\frac{δ^2u}{δy^2}
```
dalam kasus ini u adalah fungsi dari x,y dan t atau u_xyt.
May 11, 2021
Analisis Gerak Pegas dengan PDB Orde II – Gerak Harmonis dan Teredam
Ahmaddahlan.NET – Gerak pada pegas merupakan salah satu gerak yang dapat dianalisis melalui persamaan diferensial biasa orde II (PDB Orde II). Gerak ini mengikuti hukum Newton tentang gerak. Asumsinya ada dua yakni jika terjadi secara harmonis dan tidak harmonis.

Gerak Harmonis Pegas diterapkan dengan asumsi tidak ada gaya luar yang bekerja pada pegas sehingga ketika egas diberi ganguan / simpangan, pegas akan terus berayun selaman dengan periode tetap. Asumsi ke dua jika ada gaya eksternal yang bekerja pada pegas yang nilainya kecil, maka pegas akan akan berhenti pada satu waktu tersebut. Gerak pegas ini disebut Teredam lembut atau Dumped Oscillation.

Pada sebuah pegas yang digantung beban akan terdapat empat kemungkinan gaya masing adalah :
1. Gaya berat w = mg
2. Gaya pemulih F_k = -k (y+Δy)
3. Gaya Peredam pada pegas F_D = -Dv_y
4. Gaya Eksternal F_e
Misalkan pegas diberi ganguan sehingga pegas mulai bergerak maka berlaku hukum Newton II tentang gerak

ΣF = ma

Persamaan ini kemudian di subtitusi dengan semua gaya yang bekerja pada pegas sehingga menjadi
$W_b+F_k+F_D+Fe = ma$
```
mg - ky - kΔy -Dv_y + F_e = ma
```
Karena mg = -ky dan v_y adalah turunan pertama perubahan posisi terhadap waktu dy/dt maka persamaan ini dapat dituls lebih sederhana.
```
-kΔy -D\frac{dy}{dt}+ F_e = m\frac{d^2y}{dt^2}
```
Jika Δy adalah besara simpangan maka bisa dianggap sebagai y, dengan demikian Bentuk umum persamaan diferensial biasa Orde II untuk Gerak harmonik pada pegas adalah :
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =F_e
```
A. Analisis Matematis Gerak Harmonis Pegas

Pada gerak pegas yang berosilasi harmonik sederhana ada dua asumsi yang dimasukkan yang tidak ada gaya peredam dan gaya eksternal yang bekerja sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +ky =0
```
bagi kedua ruas dengan m
```
\frac{d^2y}{dt^2} +\frac{k}{m}y =0
```
Pada saat pegas berada pada percepatan maksimum nilai k/m = ω², sehingga
```
\frac{d^2}{dt^2} y+ω^2y =0
```
```
(\frac{d^2}{dt^2} +ω^2)y =0
```
Misalkan :
```
\frac{d^2}{dt^2} = r^2
```
maka bisa disimpulkan
```
r^2 + ω^2 = 0
```
Persamaan ini r²+ω²=0 memiliki akar-akar yang homogen seperti pada Solusi Umum PBD Orde II yakni r_1,2 = ±iω₀ dengan solusi :
```
y_{(t)}=c_1 \cosω_0t+c_2\sinω_0t
```
Untuk menentukan nilai konstanra c₁ dan c₂, kita lakukan sedikit trik dengan mengalikan ke dua ruas dengan :
```
\frac{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}=1
```
Sehingga persamaan dapat ditulis dengan :
```
y_{(t)}=\sqrt{c_1^2+c_2^2}(\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} \cosω_0t+\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}\sinω_0t)
```
Misalkan R²=C₁²+C₂², diambil dari sebuah segitiga siku-siku, maka
```
\cosθ=\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} 
```
dan
```
\sin θ= \frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}}
```
Sehingga solusi y_(t) dapat ditulis :
```
y_{(t)}=R (\sinθ\cos ω_0t+\cosθ\sin ω_0t)
```
Bisa disederhanakan dengan indetintas Trigonometri yakni
```
y_{(t)}=R \cos (ω_0t±θ)
```
Dimana
y_(t)= simpangan gelombang
R = Amplitudo
θ = bilangan gelombang
ω₀ = frekuensi sudut dimana ω₀²=k/m

B. Analisis Matematis Gerak Pegas Teredam Lembut

Pada kasus dunia nyata misalnya sebauh pegas yang dipasang pada sebuah motor. Pegas akan mendapatkan gaya peredam dari pegas agar getaran berhenti.
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =F_e
```
Pada kasus Pegas teredam Lembut maka F_e adalah nol, sehingga peredam hanya berasal dari gaya peredam pegas.
```
m\frac{d^2y}{dt^2} +D\frac{dy}{dt}+ky =0
```
Kita gunakan pemisalan r = d/dt, sehingga persamaan ini dapat ditulis
```
(m.r^2+D.r+k)y=0
```
dengan demikian :
```
m.r^2+D.r+k=0
```
Pada kasus terdeam lembut Diskiriman berlaku D² – 4mk < 0 sehingga akar-akar dapat dinyatakan dalam bilangan real dengan bentuk :
```
r_{1,2}=\frac{-b±i\sqrt{4mk-D^2}}{2m}=\frac{-b}{2m}±\frac{i\sqrt{4mk-D^2}}{2m}
```
suku pertama adalah α dan β. Bentuk solusi dari dari persamaan ini adalah :
```
y_{(t)}=c_1e^{α +iβt}+c_2e^{α -iβt}
```
masukkan nilai α dan β, sehingga solusinya gerak terdemannya menjadi
```
y_{(t)}=Re^{\frac{-d}{2m}t}\cosβt-θ
```
Dimana R adalah Simpangan maksimum awal atau y₀

Bentuk Getarannya seperti berikut :
May 9, 2021
Solusi dan Bentuk Umum Dari PDB Orde 2 – Homogen
Ahmaddahlan.NET – Persamaan diferensial orde n melibatkan sebuah variable yang bergantung pada nilai variable lain dengan orde turunan ke-n. Misalkan sebuah persamaan x yang berubah terhadap y. Persamaan ini memiliki dua bentuk yang PDB Orde II Homogen dan Tak Homogen.
```
y"+P_{(x)}y'+Q_{(x)}y=R_{(x)}
```
Bentuk Umum PDB Orde II Homogen

Jika sebuah persamaan memiliki nilai R_(x)=0, maka Persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Homogen dengan bentuk :

y” + ay’ + by = 0

atau :

(D²+aD¹+b)y = 0

dimana a dan y ≠ 0, misalkan Dy = ry dimana solusi sederhana dari ry = Ae^rx, maka:

D²y = D(Dy) = D(ry) = r (Dy) = r(ry) = r²y

sehingga persamaan (D²+aD¹+b)y = 0 bisa ditulis (r² + ar + b) y = 0, dengan demikian

r² + ar¹ + b = 0

Fungsi r² + ar + b ini adalah fungsi polinom dengan karakteristik diskriminan

∆ = a² + 4b

Nilai diskriminan ini terdapat 3 kemungkinan yakni ∆ > 0, ∆ = 0, dan ∆ < 0.

a. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ > 0

Pada persamaan r² + ar¹ + b = 0 dengan r₁ ≠ r₂ dimana ∆ > 0 berasal dari nilai a > 0 dan a² > 4b, maka solusi adalah

u₁ = e^r1x dan u₂ = e^r2x

Dengan demikian solusi umumnya sebagai berikut

y = c₁e^r₁x + c₂e^r₂x

b. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ = 0

Untuk nilai diskriminan ∆ = 0, maka nilai a² = 4b sehingga :
```
 r^2 + ar^1 + b = r^2+ar^1+\frac{a^2}{4}=0
```
```
(r+\frac{a}{2})^2 = 0
```
suku diatas memiliki akar-akar persamaan :
```
r=-\frac{a}{2} (akar ganda)
```
Nilau suku ux terbagi dalam dua kemungkinan yakni :

u_x = λu_x = e^rx

sedangkan u_x ≠ λu_x, misalkan :

v_(x) = xu_(x) = xe^rx

maka turunan v terhadap x adalah turunan parsial Dv = u.dv + v.du

Dv=e^rx +rxe^rx=(1+rx)e^rx

D²v = D e^rx(1+rx) = re^rx(1+rx) + re^rx

(r²x+2r ) e^rx

Subtitusikan ke persamaan (D² + aD + b ) v, hasilnya

((r²x+2r ) e^rx) + a (1 + rx) e^rx+ b ) xe^rx

Satukan suku-suku yang sama

(r²x + ar + b) x + (a + 2r) e^rx = 0

maka

(r²x + ar + b) x = 0 dan (a + 2r) e^rx = 0

Jadi v_(x) = xe^rx adalah solusi dari u_(x) dan v_(x) bebas dan linier, solusi umumnya adalah :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

c. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ < 0

Untuk ∆ = a² – 4b < 0, maka akar-akar persamaan akan menghasilkan bilangan kompleks yang saling konjugat :
```
r_{1,2}=\frac{-a ± \sqrt{a^2-4b}}{2}
```
karena nilai a² – 4b < 0 maka akar-karnya irsaional sehingga
```
r_{1,2}=\frac{-a}{2}+i \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
dimana i² = -1

masalkan :
```
α = \frac{-a}{2}
```
dan
```
β =\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}
```
nilai dari r₁ = α + iβ dan r₂ = α – iβ. akar-akar persamaan adalah :
```
\overline{y}_1=e^{r_1x}=e^{α+iβ}=e^{αx}(\cosβ+i \sin β)
```
dan
```
\overline{y}_2=e^{r_2x}=e^{α-iβ}=e^{αx}(cosβ-i \sin β)
```
Persamaan tersebut bisa disederhanakan dengan menggunakan identitas Trigonometri
```
y_1(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 + \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\cosβ
```
dan
```
y_2(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 - \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\sinβ
```
sehingga solusi umunya adalah :

y(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) = e^ax(cos β + sin β)

Kesimpulan

1. Untuk r₁ ≠ r₂ maka y₁ = e^r1x dan y₂ = e^r2x dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^r1x+ c₂e^r2x

2. Untuk r₁ = r₂ maka y₁ = e^rx dan y₂ = xe^rx dengan bentuk solusi umum :

y = c₁e^rx+ c₂xe^rx

3.Untuk r₁ = u + wi dan r₂= u – wi atau disebut akar kompleks konjugat maka y₁ = e^ux cos wx dan y₂ = e^ux sin wx solusinya adalah :

y = e^ux ( c₁ cos wx + c₂ sin wx)
May 7, 2021
Belajar Matlab – Solusi Persamaan Diferensial Biasa Numerik dengan Metode Heun
AhmadDahlan.NET – Metode Heun adalah analisi Numerik yang digunakan menghitung luas sebuah daerah yang dibatasi oleh sebuah garis dari fungsi y dengan menggunakan pendekatan Perkiraan Gradian dari Garis yang ada. Metode ini adalah modifikasi Analisi Numerik PDB dengan metode Euler.

Pada Metode Euler, Perhitungan dibatasi dengan penggunaan garis tangen dari potongan-potongan garis yang dibentuk olhe sebuah fungsi. Asumsinya semakin kecil inteval yang dibentuk maka semakin kecul pula kesalahan yang dihasilkan.

Hanya saja Prediksi dari Euler masih terdapat kekurangan, misalnya pada garis lengkung ke bawah (cekung) persaman garis tebakan akan berada di daerah atas, begitu pula sebaliknya seperti ilutrasi berikut :

Pada Metode Heun Dilakukan Pendekatan yang lebih presisi dalam mengikuti kelengkungan dari Fungsi S yakni menebak gradien antara gardien yang lewat di atas curva dan di bawah curva seperti gambar di bawah ini

Langkah Penyelesaian Metode Heun Sebagai Berikut :

1. Tentukan nilai fungsi menggunakan nilai awal x₀ dan y₀ :
```
y' = f(x_1,y_1)
```
2. Tentukan nilai y_1+i. Persamaan ini disebut sebagai persamaan Prediktor
```
y_{1+i}=y_i+y'h
```
3. Tentukan nilai y_1+i‘
```
y_{1+i}' =
```
4. Tentukan nilai rata-rata y
```
\overline{y}= \frac{y_1+y_{1+i}'}{2} 
```
5. Tentukan nilai Hampiran akhir
```
y_{1+i}=y_i+\overline{y}*h
```
Persamaan ini disebut sebagai persaman Corrector.

A. Studi Kasus

Misalkan sebuah Persamaan Diferensial Biasa orde I
```
y' =4e^{0.8x}-5y 
```
dengan batas bawah x = 0 dan batas x = 4 dengan langkah h = 1 dan kondisi awal y₍₀₎ = 2. Tentukan solusi numerik dari PDB Orde I tersebut dengan metode Heun!

Solusi Metode analitik dari Persaman di atas adalah :
```
y_{(x)} =\frac{4}{1,3}(e^{0,8x}-e^{-0,5x})+2e^{-0,5x}
```
Solusi Numerik dengan Metode Heun

1. Tentukan fungsi pada x = 0 dan x = 2
```
y'= 4e^0-0,5(2) = 3
```
2. Menentukan estimasi y pad x = 1 dengan dengan persamaan prediktor
```
y_1=2+3(1) = 5
```
3. Memperbaiki Nilai Estimasi y_1+i digunakan y₁ untuk memprediksi slope pada akhir interval
```
y_1'=4e^{0.8(1)}-0,5(5)=6.402164
```
4. Menggabungkan Slope awal dan slope akhir untuk menghasilkan slope rata-rata dari interval x=0 sampai x=1
```
\overline{y}=\frac{3+6.402164}{2}=4.701082
```
5. Solusi (4) disubstitusi ke persamaan korektor untuk memberikan nilai prediksi pada x=1
```
y_1 = 2+ 4.701082(1) = 6.701082
```
6. Substitusi balik hasil (5) ke persamaan ruas kanan korektor untuk memperbaiki prediksi y₁
```
y_1=2+\frac{3+4e^{0,8(1)}-0,5(6,701082)}{2}(1)=6.275811
```
7. Lakukan langkah (6) sebanyak iterasi yang dinginkan
```
y_1=2+\frac{3+4e^{0,8(1)}-0,5(6.275811)}{2}(1)=6.382129
```
B. Script Matlab
```
y0=2;
h=1;
mx(1)=0;
my(1)=2;
%solusi Numerik
for ii=1:4
  f1=(4*exp(0.8*x))-(0.5*y0);
  y=y0+(f1*h)
  x=x+1
  f2=(4*exp(0.8*x))-(0,5*y);
  m=(f1+f2)/2;
  y=y0+m;
    for jj=1:16;
    y1=y;
    y=y0+((f1+(4*exp(0.8*x))-(0,5*y1))*h/2);
    y1=y;
    end
  mx(ii+1)=ii;
  my(ii+1)=y;
  y0=y
end
%solusi Analitik
y_analitik = ((4/1.3*(exp(0,8*mx)-exp(-0,5*mx)))+2*exp(-0.5*mx);
plot(mx,my,'r',mx,y_analitik,'b'b);
```
May 6, 2021
Belajar Matlab – Diferensial Numerik dengan Metode Euler
Ahmaddahlan.NET – Metode Euler adalah solusi numerik untuk persamaan Diferensial biasa orde I. Persamaan dari Deret Taylor adalah :
```
y(t_i+1)=y(t_i)+(t_{i+1}-t_i)y'(t_i)+\frac{(t_{i+1}-t_i)^2}{2}y"(ξ_i)
```
jika :
```
h = (t_{i+1}-t_i)
```
maka persamaan di atas dapat ditulis :
```
y(t_i+1)=y(t_i)+hy'(t_i)+\frac{h^2}{2}y"(ξ_i)
```
Asumsi yang diterapkan pada Metode Eular adalah suku terakhir adalah turunan ke dua yang dapat diabaikan sehingga :
```
y_{i+1}=y_i+y'h
```
dimana y’ = f(x_i,y_i)

Nilai turunan dari y dengan metode Eular didapatkan dari mengekstrapolasi garis linier diinterval h, sehingga semakin banyak interval nilai h maka semakin besar error yang didapatkan.

A. Studi Kasus

Misalkan sebuah persamaaan diferensial orde I seperti berikut :
```
\frac{dy}{dx}=-2x^3+12x^2-20x +8,5
```
dimana x = 0 sampai x = 4 dengan lebar langkah 0.5 dengan syarat awal y₍₀₎ = 1.

Langkah 1. Hitung terlebih dahulu solusi analitik dari persamaan tersebut !

Langkah 2. Tentukan f(x) = -2x³+12x³-20x+8.5, kemudian subtitusi nilai x ke dalam persamaan tersebut!

Langkah 3. Hitung nilai y menggunakan persamaan : y_i+1=y_i+y’h

y

x y’ y
0 8,5 1
0,5 … …
1 … …
… … …
4 … …

Langkah 5. Buat Algoritma dengan Metode tersebut di Matlab.

Contoh Algortima dan Scriptnya di Matlab!
```
clear all
clc
format long

b = 4; % batas atas
a = 0; % batas bawah
h = 0.5; % semakin nilai semakin detail hasil yang ditunjukkan
N = (b-a)/h;
y0 = 1; % nilai y awal
x0 = 0; % nilai x awal

% inisialisasi array x dan y
x = zeros(1, N+1);
y = zeros(1, N+1);
w = zeros(1, N+1);

%perubahan t per step
for i = 1:N+1
    x(i) = a + (i-1)*h;
end

%solusi y menggunakan metode Euler
y(1) = y0;
for i = 2:N+1
    y(i) = y(i-1) + h*(-2*x(i-1)^3 + 12*x(i-1)^2 - 20*x(i-1) + 8.5);
end

%solusi analitik
for i = 1:N+1
    w(i) = -0.5*x(i)^4 + 4*x(i)^3 - 10*x(i)^2 + 8.5*x(i) + 1;
end

% Plot hasil
plot(x, y, 'b', x, w, 'r');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Numerik', 'Analitik');
title('Perbandingan Solusi Numerik dan Analitik');
```
Silahkan Run Script tersebut, disana akan terlihat perbedaan solusi antara Metode Euler dan Metode Analitik.

Tugas Latihan !

Gambarlah Grafik antara hasil Analitik dan Metode Euler untuk persamaan diberensial biasa berikut :
```
f(x,y)=\frac{y}{2x+1}
```
April 26, 2021
Belajar Matlab – Solusi Integral Metode Simpson
AhmadDahlan.NET – Metode Simpson adalah metode integral numerik yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh persamaan garis f(x). Pendekatan yang dilakukan lebih detail dari Pendekatan Trapezoid dimana Daerah di bagi ke dalam dua bangun trapesium.

Solusi Integral Metode Simpson

Gambar pada sisi kiri menunjukkan metode integral analitik untuk menghitung luas wilayah yang dibatasi oleh garis f(x) yang mulai dari a sampai b. Pada gambar pada sisi kanan adalah metode Simpson yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang diarsis menggunakan metode numerik Simpson.

Metode ini Simpson sama dengan metode Trapezoida namun luas wilayah di bagi ke dalam dua trapseium sehingga hasil perhitungan jauh lebih teliti dibandingkan dengan metode Simpson. Lebar trapesium di bagi menjadi dua bagian dengan lebar h.

Metode Simpson dibagi ke dalam dua kelompok yakni :
1. Metode simpson 1/3
2. Metode simson 3/8
A. Metode simpson 1/3

Metode ini mengaproksimasi integral dengan menggunakan polinomial kuadrat. Rumus integral Simpson 1/3 untuk fungsi f(x) pada interval [a,b] adalah sebagai berikut:
```
\int^b_a f(x).dx≈\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]
```
Untuk membagi ke lebih banyak sub-interval dapat digunakan:
```
\int^b_a f(x).dx≈\frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\Sigma^{n-1}_{i=1,3,5, ...}f(x_i)+2\Sigma^{n-2}_{i=2,4,6, ...}f(x_i)+f(x_n)\right]
```
Di mana:
- n adalah jumlah sub-interval (harus genap),
- h=(b−a)/n
- xi=a+ih
Contoh Implementasi dengan Matlab
```
function integral = simpson_1_3(f, a, b, n)
    if mod(n, 2) == 1
        error('n harus genap');
    end
    
    h = (b - a) / n;
    x = a:h:b;
    fx = arrayfun(f, x);
    
    result = fx(1) + fx(end);
    result = result + 4 * sum(fx(2:2:n));
    result = result + 2 * sum(fx(3:2:n-1));
    
    integral = result * h / 3;
end

% Contoh penggunaan
f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
n = 100;  % harus genap

integral = simpson_1_3(f, a, b, n);
fprintf('Nilai integralnya adalah: %.6f\n', integral);
```
B. Metode Simpson 3/8

Metode ini mengaproksimasi integral dengan menggunakan polinomial kubik. Rumus integral Simpson 3/8 untuk fungsi f(x) pada interval [a,b] adalah sebagai berikut:
```
\int^b_af(x).dx≈\frac{3h}{8}\left[ f(a)+3f(a)\left(a+\frac{h}{3}\right) +3f(a)\left(a+\frac{2h}{3}\right)+f(b)\right]
```
Untuk lebih banyak sub-interval, rumus umum Simpson 3/8 adalah:
```
\int^b_af(x).dx≈\frac{3h}{8}\left[ f(x_0)+3\Sigma^{n-1}_{i=1,2,4,5 ...}f(x_i)+2\Sigma^{n-3}_{i=3,6,9, ...}f(x_i)+f(x_n)\right]
```
dimana n kelipatan bilangan 3.

Contoh Implementasi dengan Matlab
```
function integral = simpson_3_8(f, a, b, n)
    if mod(n, 3) ~= 0
        error('n harus kelipatan 3');
    end
    
    h = (b - a) / n;
    x = a:h:b;
    fx = arrayfun(f, x);
    
    result = fx(1) + fx(end);
    result = result + 3 * sum(fx(2:3:n));
    result = result + 3 * sum(fx(3:3:n));
    result = result + 2 * sum(fx(4:3:n-3));
    
    integral = result * 3 * h / 8;
end

% Contoh penggunaan
f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
n = 99;  % harus kelipatan 3

integral = simpson_3_8(f, a, b, n);
fprintf('Nilai integralnya adalah: %.6f\n', integral);
```
E. Tugas

Buatlah sebuah solusi integral numerik metode trapzoida untuk fungsi berikut
```
∫_𝑎^𝑏(3𝑥3−5)𝑑𝑥
```
dan
```
∫^b_a(cos⁡𝑥+2)𝑑𝑥
```
keterangan
1. ganti nilai b dengan tanggal lahir anda masing-masing dan nilai a dengan bulan lahir.
2. Kerjakan masing-masing soal dengan metode 1/3 dan 3/8.
April 20, 2021
Belajar Matlab -Penyelesaian Integral dengan Metode Trapezoida
AhmadDahlan.NET – Penyelesaian Integral dengan Metode Trapezoida dilakukan dengan persamaan berikut :
```
\int^b_af(x)dx=\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)]-\frac{h^3}{12}f''(ξ)
```
dimana x₀=a dan x₁=b dan h = b – a. Pada umumnya turunan suku ke-2 f”, biasanya dapat diabaikan sehingga persamaan ini dapat disederhanakan menjadi :
```
\int^b_af(x)dx=\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)]
```
Pendekatan Trapezoida hanya bisa digunakan untuk persamaan yang turunan keduannya nol. Grafik dari pendekatan Trapezoida seperti berikut ini :

Grafik pada bagian kiri adalah grafik yang menunjukkan persamaan f(x). Metode Trapezodia digunakan untuk menghitung luas daerah yang menyerupai bentuk trapesium di bawah garid f(x) dengan batas dari a sampai b.

Perhatikan daerah antara garis f(x) dengan garis lurus antara f(x₁) dan f(x₀). Metode trapezodia tidak mempu menghitung luad daerah tersebut sehingga jika nilainya terlalu besar, Metode ini tidak menunjukkan hasil yang teliti.

A. Studi Kasus Solusi Integral

Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = x² dengan batas atas b = 6 dan a = 2. Bandingkan hasil keduanya dengan metode Trapezodia dengan Metode Analitik!

a. Metode Trapezodia

Nilai h = b – a = 6 – 2 = 4

f(a) = a² = 4
f(b) = b² = 36

Integral Metode Trapezodia
```
\int^6_2x^2dx=\frac{4}{2}[36+4]=80
```
b. Metode Analitik
```
\int^6_2x^2dx= \frac{1}{3}x^3|^6_2 = \frac{1}{3}(216-8) = 69,33
```
Latihan

Bandinkan hasil Metode Trapezodia dengan Metode Analitik untuk f(x) = x¹ dan f(x) = x³!

B. Membuat Script Metode Trapezodia

Membuat script di Matlab
```
clear all 
clc

a = ...
b = ...

x0=a;
x1=b;
h = b-a;

Int_trapez = (h/2)*(f(x0)+f(x1))
```
Fungsi external
```
function y = f(x)
y = ... 
```
Tugas !

Tuliskan script Metode Trapezodia dengan Matlab untuk menyelesaikan persamaan :
```
f(x)=\sqrt{1-x}
```
Bandingkan hasilnya dengan metode analitik, jika batas awal a = 1 dan batas akhir b = 3!
April 19, 2021