Category: Matematika

AhmadDahlan.NET – Yuk sedikit bermain dengan matematika selain menghitung angka-angka yang ada pada tugas-tugas matematika di sekolah. Orang awam menyebutnya sebagai teka-teki matematika namun menurut akademisi ini disebut sebagai Paradoks Matematika.

Namun sebelumnya kita harus bahas dulu masalah logika dalam matematika. Logika matematika mengatur pernyataan-pernyataan yang disebut sebagai premis yang dianggap memberikan nilai kebenaran entah yang disampaikan adalah hal yang benar atau hal yang berlawanan.

Misalnya jika sebuah premis menyatakan bahwa “semua kambing memakan batu” maka sekalipun faktanya kambing memakan rumput dan tidak memakan batu maka kita harus anggap benar terlebih dahulu premis ini. Hal ini karena didasari oleh syarat logis dimana Premis harus benar.

Premis ini akan terhubung dengan premis lain pada ujungnya akan menghasilkan sebuah kesimpulan yang disusun dari premis. Hal ini disebut sebagai landasan rasional logis. Contohnya sebagai berikut :

1. Semua kambing hanya memakan rumput
2. Semua Rumput akan menghasilkan gas Amonia jika dimakan

Dari dua premis ini dapat disimpulkan bahwa

Kambing menghasilkan gas buang yang banyak amoniaknya.

Pada awal diperkenalkan oleh Aristoteles, Logika Rasional sangat powerfull digunakan untuk menarik kesimpulan bahkan penelitian modern saat ini menggunakan kerangka rasional logis dalam menyusun dugaan sementara.

Seiring dengan berkembangn pemikiran manusia ada banyak premis yang ternyata tidak hanya memiliki satu nilai kebenaran saja. Beberapa premis ternyata memiliki kebenaran yang bisa bercabang dua ketika dihubungkan dengan premis-premis lain. Hal ini disebut sebagai Paradoxum. Para berarti menurut dan Doxa yang berarti apa yang diterima. Menurut defenisi, Paradoks juga sebagai Antinomi yang berarti melanggar hukum dan menghasilkan hasil yang kontradiksi atau Principum Contradictionis.

Mari kita mulai dengan premis sederhana dalam aljabar yakni misalkan a = b, maka bisa jadi proses seperti ini :

a= b

a(a) = b(a)

a^2 = ab

a^2-b^2=ab - b^2

(a+b)(a-b)=b(a-b)

a+b=b

Kita kembali ke premis pertama dimana a = b, maka

2b = b

2=1

Nah dari sini kita lihat bahwa hasil dari aljabar ini sudah tidak logis dimana nilai eksplisit dari 2 tidak akan pernah sama dengan 1, sekakipun basis dri angka di ubah, hal ini hanya menghasilkan perubahan pada penyimbolan namun tidak dengan nilai sebenarnya.

Akan tetapi hal yang dilakukan pada langkah-langkah Aljabar di atas sudah benar secara struktur, kecuali kita kembali ke premis a = b pada fase (a-b). Jika a = b maka suku a-b = 0, dan semuah hal yang dibagi dengan 0 tidak dapat difenisikan dalam matematika. Kesimpulannya bukti yang terlihat logis ini hanya menghasilkan kesimpulan yang salah.

A. Paradoks Epimenides

Paradoks yang pertama adalah paradoks Epimenides yang hidup sekitar abad 6 Sebelum Masehi. Epimenides adalah orang Kreta Yunani dan mengelaurkan pernyataan bahwa :

Epimenides si Orang Kreta menyatakan bahwa semua orang Kreta adalah pembohong

Nah pertanyaan ini terlihat benar namun kalau dicerna dengan baik, hal ini akan bermuara ke dua hal yang saling bertentangan satu sama lain.

Kesimpulan Pertama

• Anggap saja Epimenides berkata benar maka ia bukan seorang pembohong
• Karena ia bukan pembohong maka yang yang ia katakan adalah benar
• Namun karena orang Kreta maka dia harusnya seorang pembohong, sehingga apa yang ia katakan tidaklah benar.

Kesimpulannya jika Epimenides berkata benar maka ia berkata tidak benar.

Kesimpulan kedua

• Anggap saja Epimenides berkata tidak benar, berarti ia adalah seorang pembohong
• Jika orang pembohong maka yang ia katakan tidak tentang orang Kreta adalah pembohong adalah benar.
• Karena dia adalah orang Kreta maka apa yang ia katakan tidaklah benar

Kesimpulnannya jika Epimenides berkatar tidak benar maka ia berkata benar. Hanya di kesimpulan awal jika ia berkata benar maka ia berkata tidak benar.

B. Paradoks Russel

Paradoks Russel ini hampir mirip dengan logika berfikir dari Epimenides, Betrand Russell menyatakan premis :

Bayangkan di sebuah desa hanya ada seorang pemangkas rambut. Tukang cukur hanya mencukur orang yang tidak mencukur rambutnya sendiri

 Yah memang hal ini terlihat biasa saja sampai akhirnya kita bertanya siapa yang mencukur rambut si Tukang Cukur.

Semua orang yang ada di desa akan dicukur oleh si tukang cukur, sehingga ia tidak mencukur rambutnya sendiri. Karena ia tidak mencukur rambutnya, maka menurut premis maka ia harus mencukur rambutnya sendiri. Namun jika ia cukur rambutnya sendiri maka ia tidak boleh mencukur rambutnya sendiri karena pada saat akan mencukur rambutnya dia sudah melanggar premis pertama yakni tidak boleh mencukur orang yang mencukur rambutnya sendiri.

C. Paradoks Achilles dan Kura-kura

Achilles dan Kura-kura sedang bermain kejar-kejaran dimana Achilles akan mengangkap kura-kura pada posisinya. Hanya aturan lainnya adalah kura-kura boleh bergerak lebih dahulu. Hasilnya setiap kali Achilles sampai di tempat kura-kura yang ia sedang incar, disana sudah tidak ada kura-kura karena sudah berada di depannya.

Achilles kemudian menargetkan posisi kura-kura lagi agar bisa menangkap kura-kura, namun kura-kura boleh bergerak lebih dahulu dari Achilles sehingga ketiak sampai di titik ke dua Achilles lagi-lagi tidak menemukan kura-kura di sana karean posisi Kura-kura masih ada di depan Achilles.

Paradoks ini akan menghasilkan Lupping yang sifatnya infitnity sehingga sampai kapanpun kura-kura tidak akan pernah tertangkap oleh Archilles.

D. Perahu Theseus

Ship of Theseus adalah sebuah legenda perahu yang digunakan oleh Theseus mengalahkan Minotaur. Kapal ini terbuat dari 100 potong kayi yang akan diganti satu potong kayu setiap tahunnya.

Pertanyaan yang muncul adalah Pada 100 tahun kemudian Perahu yang digunakan Theseus adalah perahunya sendiri atau sebuah perahu baru yang berbeda? Jika benar bahwa itu bukan perahu Theseus pada titik dimanakan perhau tersebut Perahu Theseus?

Anggaplah itu 100 kayu yang digantikan setiap tahunnya dikumpulkan kemudian dibuat kapal yang sama, manakah kapa yang benar-benar kapal Theseius?

E. Paradoks Omnipotence

Paradoks Omnipotence adalah paradoks yang diperkenalkan oleh orang Yunani yang berasal dari kata Omni yang berarti segalanya dan Potence yang berarti kuasa. Paradoks ini berisi premis :

Tuhan adalah mahluk yang maha kuasa

Maha kuasa di sini berarti mampu melakukan segalanya, maka jika hal ini dianggap premis yang benar akan ada kontradiksi jika ditanyakan

Apakah tugas bisa membuat batu yang sangat berat yang tuhan tidak bisa diangkat?

Jika jawabannya benar bahwa tuhan tetap maha kuasa maka ia bisa membuat batu yang sangat berat dan tidak bisa diangkat. Hanya saja jika tidak bisa diankat maka tuhan tidaklah maha kuasa karena ternyata ada hal yang ia tidak bisa lakukan yakni mengangkat batu tersebut.

Jika tuhan bisa mengangkat batu tersebut, maka tuhan tidaklah maha kuasa karena ia tidak bisa menciptkan batu yang sangat berat yang tidak bisa diangkat.

Paradoks Omnipotance ini sering dijadikan alibi oleh para Atheis untuk menyangsikan keberadaaan tuhan dengan konsep ketuhanan yang maha kuasa.

F. Paradoks Hari Eksekusi

Paradoks ini diasumsikan melalui seorang tahanan yang akan dihukum mati dengan premis bahwa :

1. Tahanan akan diekeskusi pada siang hari pada hari kerja yakni (Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at) pada pekan ini.
2. Eksekusi ini akan menjadi kejutan bagi tahanan karena tidak akan pernah diberitahukan harinya.

Maka jika tawanan berasumsi bahwa dirinya akan dieksekusi hari senin dan hari senin si algojo datang maka ia tidak boleh dieksekusi karena pada kasus ini ia sudah tahu bahwa dirinya akan dieksekusi pada hari ini. Setelah hari senin lewat, dan sekarang hari selasa, Tawanan kembali merasa dirinya akan dieksekusi pada hari selasa dan jika Algojo datang pada hari selasa maka ia tidak boleh dieksekusi lagi dengan alasan ia sudah tidak terkejut.

Namun jika si tawanan menyimpulkan sebaliknya misalnya ia tidak akan dieksekusi hari jum’at maka akan tersisa empat hari yakni senin, selasa, rabu dan kamis. Selanjutnya ia kembali berasumsi bahwa ia tidak akan dieksekusi pada hari kamis sehingga tersisa tiga hari yang senin, selasa dan rabum begitu seterusnya sehingga ia merasa tidak akan pernah dieksekusi. Sehingga jika Algojo datang mengetuk pintu pada hari apa saja, maka si tawanan akan terkejut dan dia boleh dieksekusi.

AhmadDahlan.NET – Matematika dan aljabar telah dengan jelas menyampaikan bahwa 1 + 1 = 2, namun terkadang melalui proses penyimbolan kita bisa menemukan pergeseran nilai. Misalnya menghasilkan 1 + 1 bisa saja sama dengan 3. Berikut ini adalah Manipulasi Aljabar untuk 1 + 1 = 3.

1 + 1 = 3 melalui Aljabar

Mari kita asumsikan terlebih dahulu bahwa

a = b

lalu mari kita lakukan aljabar sederhana dari soal ini, misalnya kali dengan a :

(a)a= (a)b

a^2= ab

lalu kurang dengan b².

a^2-b^2=ab-b^2

(a+b)(a-b)=b(a-b)

a+b=b

karena asumsi di awal a = b, maka persamaan ini bisa ditulis

2b = b

Kalau nilia ini ditukar dengan b = 1 maka

(2)1 = 1

Dengan demikian didapatkan bahwa 2 = 1, untuk mendapatkan jawaban dari 1 + 1, maka tukarkan salah satu dari suku tersebut dengan nilai 1 dengan 2 sehingga

1+1 = 2 + 1 = 3

Missleading

Mari kita cari penyebab kegagalan manipulasi yang sudah benar menurut teori Aljabar ini.

Misalkan hasil dari 2b = b, kita subtitusi nilainya bilangan real

1. 2(-2) = -2
2. 2(-1) = -1
3. 2(0) = 0
4. 2(1) = 1
5. 2(2) = 2
6. 2(3) = 3, dst

Dari subtitusi ini dapat disimpulkan bahwa pemisalan a = b hanya berlaku untuk nilai a & b = 0, tidak berlaku nilai nilai yang lain.

Selai itu kita kembali ke syarat awal yakni :

a = b

maka

a - b = 0

unsur masuk pada

(a+b)(a-b)=b(a-b)

Pada langkah ini menunjukkan bahwa terjadi pembagian dengan 0, dengan demikin nilai a + b = b tidaklah valid.