Solusi Persamaan Diferensial dalam Ilmu Sains

Ahmaddahlan.NET – Persaman Diferensial Biasa adalah sebuah persamaan yang berisi fungsi yang tidak diketahui secara eksplisit dan turunannnya. Bentuknya seperti pada Sistem Gerak pada Pegas yang ditulis dalam bentuk PDB :

m\frac{d^2x}{dt^2}+D\frac{dx}{dt}+kx=F

dimana m adalah massa beban gantung, D adalah koefisien redaman dan k adalah konstanta elastisitas pegas. Karena x adalah fungsi dari t maka persamaan ini dapat disederhanakan dalam bentuk :

mx"+Dx'+kx = F

Persaman ini berisi besaran x yang tidak diketahui rumus eksplisit, x’ adalah turunan pertama dan x” adalah turunan kedua. Karena memiliki Orde tertinggi turunan kedua, Persamaan ini disebut Persamaan Diferensial Biasa Orde II atau PDB Orde II.

Arti dari diferensial itu sendiri dalah perubahan sebuah varibale terhadap besaran lain. Misalkan kita umpakan pegas yang berada pada posisi x kemudian bergerak, maka posisi x akan berubah sesuai dengan perubahan dari t, dalam hal ini nilai x adalah fungsi dari t dan ditulis dengan notasi x_(t).

A. Kelompok Persamaan Diferensial

Persaman diferensial terbagi ke dalam dua jenis yakni suatu fungsi yang nilainya hanya berubah terhadap satu besaran yang disebut sebagai persamaan diferensial biasa atau PDB (Ordinary Differential Equation – ODE). Persaman kedua adalah persamaan diferensial parsial yang nilai dari besaran berubah terhadap dua variable atau lebih.

1. Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan difefernsial biasa hanya memiliki satu variabel perubah. Misalkan nilai y terhadap x. Contoh persamaannya adalah :

(i).\frac{dx}{dt}=x+t

(ii).y'=x^2+t^2

(iii). my"+cy'=-ky

Misalkan sebuah fungsi f disebut sebagai besaran yang nilainya tidak diketuhui dari x :

y = f(x)

solusi dari persamaan ini adalah

f'(x)=xf(x)

dimana x adalah rentang tertentu dari sebuah perubahan. Hasil dari turunan ini selanjutnay di tulis dengan notasi

y’=f(x)

Sebagai contoh kita mengetahui bahwa solusi dari persamaan umum

y’=Axⁿ

adalah :

y=\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C

dengan C adalah konstanta sembarang.

Model Pertumbuhan Populasi

Model pertumbuhan suatu populasi berdasarkan asumsi bahwa besar laju pertumbuhan populasi bergantung dari besar populasinya. Milsanya Populasi Bakteri (N) akan berkembang menjadi 2N dalam waktu 1 detik, jika populasi awalnya adalah 6N maka satu detik berikutnya akan menjadi 12N. Nilai ini selanjutnya disebut faktor yang bisa saja nilainya tetap (konstanta) dan biasa saja nilai juga ikut berubah.

Misalkan sebuah populasi bakteri N yang membelah diri dalam rentang waktu t sebanyak k. Populasi bakteri dalam rentang waktu tertentu jadi bisa diperhitungkan dengan persamaan diferensial biasa:

\frac{dN}{dt}=kN

Jumlah dari bakteri ini tidak lain

\int{\frac{dN}{N}}=k\int{dt}

solusinya adalah

\ln N = kt + c

Jumlah bakterinya dapat dihitung dengan persamaan berikut :

N = e^{kt+c}

2. Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah sebuah persamaan dimana nilai dari sebuah variable ditentukan oleh dua buah variabel lain. Turunan dari fungsi ijni dilakukan secara parsial dimana salah satu satau dikonstankan terlebih dahulu kemudian setelah variable sisanya.

Bentuk Persamaan Diferensial Parsial sebagai berikut :

(i). \frac{δ^2u}{δx^2}+\frac{δ^2u}{δy^2}=6xye^{x+y}

dalam kasus ini u adalah fungsi dari x dan y, atau u_xy. Bentuk lain :

(ii). \frac{δu}{δt}=3 sin (x+t)+\frac{δ^2u}{δx^2}+(1+x^2)+\frac{δ^2u}{δy^2}

dalam kasus ini u adalah fungsi dari x,y dan t atau u_xyt.