Turunan Persamaan Relativistik Einstein – E=mcc

Salah satu persamaan sederhana yang memiliki banyak konsekuensi di fisika terutama dunia quantum diperkenalkan oleh Ablert Ainstein yakni E=mc². Persamaan ini memberikan banyak konsekuensi yang bertentangan dengan pandangan fisika klasik, salah satunya batas kecepatan benda bergerak di muka bumi adalah kecepatan cahaya (c) atau disebut persamaan Relativistik Einstein.

Turunan Persamaan Relativistik

Mari kita mulai persamaan ini melalui konsep usaha dan energi yakni:

dE = F.dx \ \ \ \  ... (1)

dimana laju perubahan energi (dE) yang dialama oleh benda berasal dari jumlah gaya (F) yang diberikan sejauh dx. Hukum Newton II menyatakan bahwa F sendiri adalah lajur perubahan momentum (dP) terhadap (dt), dengan demikian persamaan ini bisa ditulis:

dE = \frac{dp}{dt}dx

dimana dx/dt adalah kecepatan sehingga

dE= v.dp \ \ \ \  ... (2)

Pada fisika klasik, massa dari sebuah benda akan tetap konstan, namun pada gerak dengan kecepatan mendekatai cahaya, massa benda bergantung dari kecepatannya. Massa ini disebut massa relatif. Besar massa relative adalah:

 m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \ \ \ \  ... (3)

dimana m₀ adalah massa diam benda. Sekarang asumsikan jika massa benda ikut berubah sebagai fungsi dari kecepatan, maka perubahan momentum benda bergerak ini dipengaruhi oleh dua variable yakni m dan v, sehingga nilai momemntum turunas parsial dari massa dan kecepatan.

dp = mdv+vdm

dengan demikian nilai dE adalah:

dE=v.dp 

dE = mv.dv+v^2dm \ \ \ \  ... (4)

Turunnkan persamaan (3) terhadap kecepatan

\frac{dm}{dv}= \frac{d\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}{dv}=m_0\frac{d(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}}{dv}

Gunakan aturan rantai sehingga hasilnya

\frac{dm}{dv}=m_0(-\frac{1}{2}(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}}).(-\frac{2v}{c^2})

atau bisa ditulis :

\frac{dm}{dv}=m_0(\frac{v}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}} \ \ \ \  ... (5)

ruas paling kanan Persamaan 5 ini bisa dipisahkan dan ditulis dalam bentuk:

\frac{dm}{dv}=m_0(\frac{v}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1}.(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}

perhatikan unsur (1-v²\c²)^-1/2 dan hubungannya dengan m₀ di persamaan tiga yakni:

m(1-\frac{v^2}{c^2})^{\frac{1}{2}} = m_0

Sehingga persamaan 5 bisa dituiskan sederhana:

\frac{dm}{dv}=m(1-\frac{v^2}{c^2})^{\frac{1}{2}}(\frac{v}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1}.(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}

\frac{dm}{dv}=(\frac{mv}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})^{-1}

dimana:

\frac{dm}{dv}=(\frac{mv}{c^2})(\frac{c^2-v^2}{c^2})^{-1} =(\frac{mv}{c^2})(\frac{c^2}{c^2-v^2})

persamaan 5 bisa ditulis lebih sederhana dalam bentuk

\frac{dm}{dv}=\frac{mv}{c^2-v^2}

gabungkan sisi dengan variable yang sama, sehingga persamaan ini berubah menjadi

c^2dm-v^2dm=mvdv  \ \ \ \  ... (6)

masukkan persamaan (6) ke persamaan (4)

dE=c^2dm-v^2dm + v^2dm

integralkan kedua sisi sehingga

\int^{E}_{E_0} dE =c^2\int^m_{m_0} dm 

E-E_0=c^2(m-m_0)

atau

E-E_0=mc^2-m_0c^2

Persamaan E₀=m₀C² bermakna total energi dari materi diam bermassa m dan E=mc² adalah energi total benda berdasarkan massa relatifnya.