Aplikasi Persamaan Diferensial Orde I pada Model Pertumbuhan Eksponensial

AhmadDahlan.NET – Kasus perubahan / pertumbuhan eksponensial adalah sebuah model yang digunakan untuk memprediksi jumlah dari sebuah populasi yang bertambah seiring dengan jumlah waktu. Solusinya dalam bentuk persamaan diferensial yang menunjukkan perubahan nilai dari sesuatu variable terhadpa rentang variable tertentu.

Misalkan sepasang kelinci akan menghasilkan keturunan sepeasang setiap 1 bulan, maka pada bulan berikutnya sepasang kelinci awal akan mengasilkan satu pasang lagi. Dalam sepuluh bulan sepasang kelinci awal ini adakan menghasilkan 10 pasang kelinci, namun kelinci yang dilahirkan pada bulan pertama juga akan menghasilkan keturunanan sepasang pada bulan berikutnya, demikian setereusnya sehingga pertumbuhan kelinci ini tidaklah linier melainkan eksponensial.

Jumlah kelinci dalam kasusu ini dapat diprediksi dengan pemodelan pertumbuhan eksponensial. Misalkan Jumlah populasi bertambah sebesar Δy dipengaruhi jumlah awal y, faktor pertambahan k, dan rentang waktu tertentu Δt.

\frac{dy}{dt}= \lim\limits_{Δx\rightarrow 0}\frac{Δy}{Δt}=ky = kdt

Bentuk persamaan umumnya adalah :

\frac{dy}{dt} = yk

Solusi umum dari persamaan ini adalah :

\int\frac{dy}{y} = \int kdt

\ln y |^y_{y_0}= kt + C

y=y_0e^{kt}

jika unsur k > 0 maka populasi ini akan bertambah seiring dengan waktu dan jika k < 0 maka nila y akan berkurang seiring waktu. y_o adalah unsur yang menentukan besar populasi awal yang ada, jika tidak ada populasi maka tidak akan ada perubahan jumlah populasi.

Pemodelan Kasus Fisika dengan PDB Orde I

A. Peluruhan Zat Radioaktif

Zat radiokaktif adalah zat yang tidak stabil dan jumlah akan selalu berkurang setengah dari jumlah awal dalam rentang waktu tertentu. Rentang waktu ini disebut waktu paruh dan setiap zat radioaktif memiliki waktu paruh yang berbeda-beda.

Jumlah peluruhan zat radioaktif ini akan sebanding dengan Jumlah zat awal dair radioaktif ini, dengan demikian pemodelan matematis untuk jumlah zatnya dapat dihitung dengan persamaan :

\frac{dN}{dt}=-λN

dimana :

N : Jumlah zat (gram atau mol)
λ : kontanta waktu paruh (gram/s atau mol/s)
t : rentang waktu (s)

solusinya adalah :

\int \frac{dN}{N}=-\int λdt

N = N_0e^{-λt}

B. Hukum Pendinginan Newton

Sebuah benda dengan suhu tinggi, diletakkan pada suatu ruangan yang suhu nya lebih rendah akan mengalami penurunan suhu sesuai dengan hukum Termodinamika. Jika suhu tersebut berkurang dengan spesifik dengan perbandingan suhu awalnya maka penurunan suhu ini dapat dihitung dengan Hukum Pendinginan Newton :

\frac{dT}{dt}=k(T-T_1)

Dimanan dT/dt menunjukkan perubahan suhu sebagai fungsi dari waktu. k adalah spesifikasi penurunan suhu. Jika k bernilai positif (+k) maka suhu benda mengalami peningkatan dan jika benilai negatif (-k) maka terjadi penurunan suhu.

Hukum Pendidinginan Newton ini berlaku pada ruangan yang memiliki sifat reservoir panas yang sangat besar sehingga suhu ruangan tidak bertambah. Dengan demikian T₁ bernilai konstan.

Solusi persamaan ini adalah :

\int \frac{dT}{T-T_1}=k\int dt

\ln|T-T_1|=kt+C

T-T_1=e^{kt+C}

T=T_1+C_1e^{kt}

besar nilai C₁ bisa diketahui dengan asumsi pendinginan terjadi t=0, sehingga e^k0 = 1 persamaan jadi

C₁ = T – T₁