Solusi dan Bentuk Umum Dari PDB Orde 2 – Homogen

1 min read

Solusi Umum Persamaan Diferensial Biasa Orde II

Ahmaddahlan.NET – Persamaan diferensial orde n melibatkan sebuah variable yang bergantung pada nilai variable lain dengan orde turunan ke-n. Misalkan sebuah persamaan x yang berubah terhadap y. Persamaan ini memiliki dua bentuk yang PDB Orde II Homogen dan Tak Homogen.

y"+P_{(x)}y'+Q_{(x)}y=R_{(x)}

Bentuk Umum PDB Orde II Homogen

Jika sebuah persamaan memiliki nilai R(x)=0, maka Persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Homogen dengan bentuk :

y” + ay’ + by = 0

atau :

(D2+aD1+b)y = 0

dimana a dan y ≠ 0, misalkan Dy = ry dimana solusi sederhana dari ry = Aerx, maka:

D2y = D(Dy) = D(ry) = r (Dy) = r(ry) = r2y

sehingga persamaan (D2+aD1+b)y = 0 bisa ditulis (r2 + ar + b) y = 0, dengan demikian

r2 + ar1 + b = 0

Fungsi r2 + ar + b ini adalah fungsi polinom dengan karakteristik diskriminan

∆ = a2 + 4b

Nilai diskriminan ini terdapat 3 kemungkinan yakni ∆ > 0, ∆ = 0, dan ∆ < 0.

a. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ > 0

Pada persamaan r2 + ar1 + b = 0 dengan r1 ≠ r2 dimana ∆ > 0 berasal dari nilai a > 0 dan a2 > 4b, maka solusi adalah

u1 = er1x dan u2 = er2x

Dengan demikian solusi umumnya sebagai berikut

y = c1er1x + c2er2x

b. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ = 0

Untuk nilai diskriminan ∆ = 0, maka nilai a2 = 4b sehingga :

 r^2 + ar^1 + b = r^2+ar^1+\frac{a^2}{4}=0
(r+\frac{a}{2})^2 = 0

suku diatas memiliki akar-akar persamaan :

r=-\frac{a}{2} (akar ganda)

Nilau suku ux terbagi dalam dua kemungkinan yakni :

ux = λux = erx

sedangkan ux λux, misalkan :

v(x) = xu(x) = xerx

maka turunan v terhadap x adalah turunan parsial Dv = u.dv + v.du

Dv=erx +rxerx=(1+rx)erx

D2v = D erx(1+rx) = rerx(1+rx) + rerx

(r2x+2r ) erx

Subtitusikan ke persamaan (D2 + aD + b ) v, hasilnya

((r2x+2r ) erx) + a (1 + rx) erx+ b ) xerx

Satukan suku-suku yang sama

(r2x + ar + b) x + (a + 2r) erx = 0

maka

(r2x + ar + b) x = 0 dan (a + 2r) erx = 0

Jadi v(x) = xerx adalah solusi dari u(x) dan v(x) bebas dan linier, solusi umumnya adalah :

y = c1erx + c2xerx

c. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ < 0

Untuk ∆ = a2 – 4b < 0, maka akar-akar persamaan akan menghasilkan bilangan kompleks yang saling konjugat :

r_{1,2}=\frac{-a ± \sqrt{a^2-4b}}{2}

karena nilai a2 – 4b < 0 maka akar-karnya irsaional sehingga

r_{1,2}=\frac{-a}{2}+i \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}

dimana i2 = -1

masalkan :

α = \frac{-a}{2}

dan

β =\frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}

nilai dari r1 = α + iβ dan r2 = α – iβ. akar-akar persamaan adalah :

\overline{y}_1=e^{r_1x}=e^{α+iβ}=e^{αx}(\cosβ+i \sin β)

dan

\overline{y}_2=e^{r_2x}=e^{α-iβ}=e^{αx}(cosβ-i \sin β)

Persamaan tersebut bisa disederhanakan dengan menggunakan identitas Trigonometri

y_1(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 + \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\cosβ

dan

y_2(x)=\frac{1}{2}\overline{y}_1 - \frac{1}{2}\overline{y}_2=e^{αx}\sinβ

sehingga solusi umunya adalah :

y(x)=c1y1(x)+c2y2(x) = eax(cos β + sin β)

Kesimpulan

1. Untuk r1 ≠ r2 maka y1 = er1x dan y2 = er2x dengan bentuk solusi umum :

y = c1er1x + c2er2x

2. Untuk r1 = r2 maka y1 = erx dan y2 = xerx dengan bentuk solusi umum :

y = c1erx + c2xerx

3.Untuk r1 = u + wi dan r2 = u – wi atau disebut akar kompleks konjugat maka y1 = eux cos wx dan y2 = eux sin wx solusinya adalah :

y = eux ( c1 cos wx + c2 sin wx)