Ahmaddahlan.NET – Persamaan diferensial orde n melibatkan sebuah variable yang bergantung pada nilai variable lain dengan orde turunan ke-n. Misalkan sebuah persamaan x yang berubah terhadap y. Persamaan ini memiliki dua bentuk yang PDB Orde II Homogen dan Tak Homogen.
Daftar Isi
Bentuk Umum PDB Orde II Homogen
Jika sebuah persamaan memiliki nilai R(x)=0, maka Persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Homogen dengan bentuk :
y” + ay’ + by = 0
atau :
(D2+aD1+b)y = 0
dimana a dan y ≠ 0, misalkan Dy = ry dimana solusi sederhana dari ry = Aerx, maka:
D2y = D(Dy) = D(ry) = r (Dy) = r(ry) = r2y
sehingga persamaan (D2+aD1+b)y = 0 bisa ditulis (r2 + ar + b) y = 0, dengan demikian
r2 + ar1 + b = 0
Fungsi r2 + ar + b ini adalah fungsi polinom dengan karakteristik diskriminan
∆ = a2 + 4b
Nilai diskriminan ini terdapat 3 kemungkinan yakni ∆ > 0, ∆ = 0, dan ∆ < 0.
a. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ > 0
Pada persamaan r2 + ar1 + b = 0 dengan r1 ≠ r2 dimana ∆ > 0 berasal dari nilai a > 0 dan a2 > 4b, maka solusi adalah
u1 = er1x dan u2 = er2x
Dengan demikian solusi umumnya sebagai berikut
y = c1er1x + c2er2x
b. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ = 0
Untuk nilai diskriminan ∆ = 0, maka nilai a2 = 4b sehingga :
suku diatas memiliki akar-akar persamaan :
Nilau suku ux terbagi dalam dua kemungkinan yakni :
ux = λux = erx
sedangkan ux ≠ λux, misalkan :
v(x) = xu(x) = xerx
maka turunan v terhadap x adalah turunan parsial Dv = u.dv + v.du
Dv=erx +rxerx=(1+rx)erx
D2v = D erx(1+rx) = rerx(1+rx) + rerx
(r2x+2r ) erx
Subtitusikan ke persamaan (D2 + aD + b ) v, hasilnya
((r2x+2r ) erx) + a (1 + rx) erx+ b ) xerx
Satukan suku-suku yang sama
(r2x + ar + b) x + (a + 2r) erx = 0
maka
(r2x + ar + b) x = 0 dan (a + 2r) erx = 0
Jadi v(x) = xerx adalah solusi dari u(x) dan v(x) bebas dan linier, solusi umumnya adalah :
y = c1erx + c2xerx
c. Solusi PDB Orde II Homogen dengan ∆ < 0
Untuk ∆ = a2 – 4b < 0, maka akar-akar persamaan akan menghasilkan bilangan kompleks yang saling konjugat :
karena nilai a2 – 4b < 0 maka akar-karnya irsaional sehingga
dimana i2 = -1
masalkan :
dan
nilai dari r1 = α + iβ dan r2 = α – iβ. akar-akar persamaan adalah :
dan
Persamaan tersebut bisa disederhanakan dengan menggunakan identitas Trigonometri
dan
sehingga solusi umunya adalah :
y(x)=c1y1(x)+c2y2(x) = eax(cos β + sin β)
Kesimpulan
1. Untuk r1 ≠ r2 maka y1 = er1x dan y2 = er2x dengan bentuk solusi umum :
y = c1er1x + c2er2x
2. Untuk r1 = r2 maka y1 = erx dan y2 = xerx dengan bentuk solusi umum :
y = c1erx + c2xerx
3.Untuk r1 = u + wi dan r2 = u – wi atau disebut akar kompleks konjugat maka y1 = eux cos wx dan y2 = eux sin wx solusinya adalah :
y = eux ( c1 cos wx + c2 sin wx)
Tinggalkan Balasan
Anda harus masuk untuk berkomentar.