Periode dan Persamaan Umum Gelombang Sinosoidal pada GHS – Kasus Pegas

AhmadDahlan.NET – Untuk menganalisis periode dan karakteristi Sinosoidal pada pegas, mari kita misalkan sebuah pegas dengan konstanta k digantungkan beban sebesar m seperti pada gambar dibawah ini !

Ketika pegas diberi ganguan yang kecil maka akan berosilisasi dengan gaya-gaya yang bekerja pada pegas adalah :

1. Gaya Berat, w = mg
2. Gaya Pemulih dari pegas yakni F_k = – k (y + Δy)
3. Gaya peredam F_D = -Dv_y
4. Gaya eksternal dari ganguan yang diberikan F_e.

Karena benda bergerak dengan kecepatan yang tidak tetap maka berlaku hukum II Newton tentang gerak sehingga :

Σ F = ma

gaya-gaya yang berlaku kemudian dmasukkan ke dalam ΣF, sehingga persamaan ini bisa ditulis :

W + F_k + F_D + F_e = ma_y

mg – k (y + Δy) – Dv_y – Fe = ma_y

mg – ky – kΔy – Dv_y – Fe = ma_y

Perhatikan unsur mg = kx dan v_y = dy/dt, dan a_y = d²y/dt² maka persamaan ini bisa ditulis :

unsur Δy tidak lain adalah simpangan (y), persamaan kemudian dapat ditulis dengan bentuk :

Pada gerak harmonik sederhana, D dy/dt dapat dihilangkan karena pegas tidak mengalami regangan karena dianggap akan terus berayun sedangkan gaya Fe dapat dihilangkan karena sistem sudah dalam keadaan setimbang, sehingga persamaan ini dapat ditulis :

Pada saat posisi pegas berada pada kecepatan maksimum maka kecepatan sesaat nya adalah ω² = k/m

Dalam persamaan diferensial Biasa orde II (PDB Orde II), bentuk ini bisa ditulis

r² + ω² = 0

r² + ω² = 0 memiliki akar-akar persamaan r_1,2=±iω₀ sehingga bentuk solusi adalah :

y(t) = c₁ cos ω₀t + c₂ sin ω₀t

kedua ruas kemudian dikalikan dengan √(c₁²+c₂²) / √(c₁²+c₂²) sehingga :

jika kita misalkan R² = c₁²+c₂² maka :

masukkan solusi ke persamaan y(t) maka solusinya adalah :

y(t) = R (sin θ cos θ ω₀t + cos θ sin θ ω₀t)

berdasarkan idnetitas trigonometri persamaan dapat ditulis lebih sederhana yakni

y(t) = R cos (ω₀t ± θ)

R tidak lain adalah Amplitudo arau R maksimum sehingga persamaan umum gelombang berlajan yang berubah terhadap waktu adalah :

y(t) = A cos (ω₀t ± θ)

dimana :

A : Amplitudo (m)
y(t) : Simpangan (m)
ω : Kecepatan sudut (rad/s)
t : waktu (s)
θ : beda fase

Persamaan y(t) = A cos (ω₀t ± θ) ini juga dikenal sebagai persamaan umum gelombang berjalan untuk herak harmonik sederhana.

Periode dan Frekuensi Gelombang

Perhatikan hubungan kecepatan sudut ω = 2πf, dan ω² = k/m sehingga dapat disimpulkan jika

Dimana :

T : Periode gelombang berjalan (sekon)
f : frekuensi gelombang (hz)

perhatikan persamaan periode getaran dari yang menunjukkan hubungan antara T ~ √m. Hal ini menunjukkan jika kelambaman (inersia) dari massa juga berpengaruh terhadap periode ayunan dimana semakin besar inersia maka semakin lama pula periode getarannya.

Baca Juga : Gerak Melingkar

Tugas dan Latihan

Karena y(t) adalah fungsi simpanga terhadap waktu maka turunan pertama y(t) terhadap waktu adalah kecepatan dan turunan kedua adanya percepatan, maka tentutakanlah :

• Persamaan kecepatan
• Persamaan percepatan.